Tiệm cận đứng là gì? Công thức tính TCĐ và cách giải các dạng bài tập

Tiệm cận đứng là gì? Công thức tính TCĐ và cách giải các dạng bài tập

I. Lý thuyết

- Định nghĩa: Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Nghĩa là các giới hạn trái, phải tiến ra vô cùng.

II. Cách tìm tiệm cận đứng

Để tìm được TCĐ của đồ thị hàm số bất kỳ, các em hãy thực hiện theo các bước sau nha:

Bước 1: Đầu tiên, hãy xác định tập xác định D của hàm số đã cho.

Bước 2: Hãy tìm điểm không xác định của hàm số đó, nhưng có lân cận trái hoặc lân cận phải nằm trong tập xác định.

Bước 3: Tính giới hạn một bên của hàm số tại các điểm đã tìm được ở bước 2 và rút ra kết luận.

Ví dụ minh họa:

Tìm đường TCĐ của đồ thị y =$\frac{2x-3}{x-1}$

Lời giải:

Xét hàm số y = $\frac{2x-3}{x-1}$ không xác định khi x - 1 = 0, tương đương x = 1.

Với x = 1, ta có:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x-3}{x-1}= -\infty ; \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x-3}{x-1}= +\infty$

Vậy x = 1 là TCĐ của đồ thị y = $\frac{2x-3}{x-1}$.

Tìm tiệm cận đứng bằng máy tính bỏ túi Casio

Đường thẳng x = x0 được coi là đường TCĐ của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• lim x →x0+f(x)=+∞(–∞)
• limx→x0–f(x)=+∞(–∞)

Phương pháp giải trên máy tính như sau:

Bước 1: Tìm các giá trị x0 để hàm số y = f(x) không xác định, thường cho mẫu số = 0 và giải phương trình tìm x0.

Bước 2:

• Tính limx→x0+f(x), nhập f(x), chọn CALC, chọn x = x0 +0,00001
• Tính limx→x0-f(x), nhập f(x), chọn CALC, chọn x = x0 - 0,00001

Lúc này, kết quả có thể rơi vào 4 trường hợp như sau:

• TH1: Một số dương rất lớn, lúc này ta sẽ kết luận giới hạn bằng dương vô cùng.
• TH2: Một số âm rất nhỏ, lúc này ta sẽ kết luận giới hạn bằng âm vô cùng.
• TH3: Một số bất kỳ có dạng A.10-n, lúc này ta sẽ kết luận giới hạn bằng 0.
• TH4: Một số tự nhiên bình thường là B, lúc này ta sẽ suy ra giới hạn bằng B.

Tìm tiệm cận đứng qua bảng biến thiên

Ngoài 2 cách trên, các em có thể tìm được đường TCĐ của hàm số dựa vào bảng biến thiên, chi tiết cách làm như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số đã cho dựa vào bảng biến thiên.

Bước 2: Quan sát kỹ bảng biến thiên và xác định những điểm khiến hàm số không xác định, những điểm đó là TCĐ của hàm số đó.

Lưu ý

Tiệm cận đứng của hàm số phân tuyến tính: y = $\frac{ax+b}{cx+d}$, với (ad - bc khác 0, c khác 0) là x = $\frac{-d}{c}$

III. Các dạng bài

Dạng 1: Tìm đường tiệm cận đứng dựa vào định nghĩa

Đối với dạng này, các em cần phải nắm vững định nghĩa về đường TCĐ và áp dụng nó để giải một cách dễ dàng .

Dạng 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số phân tuyến tính

Đối với dạng bài này, các em chỉ cần nhớ công thức tính nhanh đường TCĐ của hàm số phân tuyến tính là có thể dễ dàng tìm được đáp án.

Ví dụ: Cho đồ thị hàm số y = f(x) = (1 - 3x)/(x + 2), hãy tìm đồ thị của hàm số này.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính nhanh đồ thị hàm số phân tuyến tính, ta có, x = (-2)/1 = -2 là TCĐ của hàm số đã cho.

Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số bất kỳ có tiệm cận đứng

Để giải được dạng toán này, các em hãy xem lại hướng dẫn tìm hàm số cơ bản đã nêu ở trên để áp dụng.

Ví dụ: Cho hàm số y = $\frac{3x+1}{m-2x}$, m phải bằng bao nhiêu để hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là x = 1.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào đồ thị, ta có x = $\frac{-1}{3}$ là nghiệm của tử số, vậy để đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận thì x = $\frac{-1}{3}$ không phải là nghiệm của phương trình m - 2x = 0 ⇒ m khác $\frac{-2}{3}$.

Để đồ thị hàm số đã cho nhận x = 1 là TCĐ thì $\frac{m}{2}$ = 1 ⇒ m =2.

Vậy m = 2 thì hàm số y = $\frac{3x+1}{m-2x}$ có TCĐ là x = 1.

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số y = $\frac{3-x}{x-2}$

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3-x}{x-2}$ = -∞, vậy suy ra x = 2 là đường TCĐ của đồ thị y = $\frac{3-x}{x-2}$

Bài 2: Đồ thị hàm số sau có bao nhiêu đường TCĐ?

$y= \frac{x-3}{x^2+x-2}$

Ta có đường thằng x = x₀ là TCĐ của đồ thị hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$nếu x₀ là nghiệm của g(x) nhưng không phải là nghiệm của f(x).

Xét hàm số x² + x - 2 = 0, ta có x = 1 và x = 2.

Với x = 1 và x = 2 thì x - 3 khác 0,

Vậy đồ thị hàm số y đã cho có 2 TCĐ là x = 1 và x = 2.