Trực tâm là gì? Tính chất, cách xác định trực tâm trong tam giác (chính xác nhất)

Trực tâm là gì? Tính chất, cách xác định trực tâm trong tam giác (chính xác nhất)

I. Lý thuyết về trực tâm

1. Trực tâm là gì?

Trong tam giác, trực tâm là giao điểm của ba đường cao kẻ từ mỗi đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện.

2. Cách xác định trực tâm trong tam giác

a) Trực tâm trong tam giác nhọn

Kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện (đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B và C tới cạnh tương ứng). Hai đường cao này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất, đó chính là trực tâm của tam giác.

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác và có vị trí gần trung điểm của các cạnh.

b) Trực tâm trong tam giác tù

Kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện, sau đó vẽ thêm một đường cao từ điểm đỉnh góc tù xuống cạnh đối diện. Đường cao này cắt đường cao khác tại một điểm, đó chính là trực tâm của tam giác tù.

Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.

c) Trực tâm trong tam giác vuông

Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

II. Tính chất đường trực tâm trong tam giác

Trực tâm của tam giác là một điểm đặc biệt trong tam giác và có một số tính chất như sau:

- Tính chất 1: Trực tâm là điểm trùng điểm giao của ba đường thẳng đồng trung và đồng quy trong tam giác, bao gồm:

+ Đường trung trực: Đường thẳng đi qua trực tâm và đỉnh tương ứng của cạnh.

+ Đường phân giác: Đường thẳng chia một góc trong tam giác thành hai phần bằng nhau, kết hợp với trực tâm.

+ Đường cao: Đường thẳng từ một đỉnh của tam giác vuông góc với cạnh đối diện, cắt nhau tại trực tâm.

- Tính chất 2: Trực tâm cắt đường trung trực của hai cạnh thành hai đoạn có độ dài bằng nhau. Điều này có nghĩa là trực tâm cách các đỉnh của tam giác một khoảng bằng nhau.

- Tính chất 3: Trực tâm là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác, nghĩa là nếu ta vẽ một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác, trực tâm sẽ nằm trên đường tròn đó và là tâm của nó.

- Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn nằm bên trong tam giác, trong khi trực tâm của tam giác tù nằm bên ngoài tam giác.

- Tính chất 5: Trực tâm của tam giác vuông nằm trên cạnh huyền và chính giữa hai đỉnh vuông góc của tam giác.

- Tính chất 6: Trực tâm là điểm duy nhất trong tam giác mà nếu ta vẽ các đường từ trực tâm đến các đỉnh của tam giác, tổng độ dài các đường đó là nhỏ nhất. Điều này có nghĩa là trực tâm nằm gần nhất với các đỉnh của tam giác so với bất kỳ điểm nào khác.

- Tính chất 7: Trực tâm cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác, tức là đường tròn lớn nhất mà có thể vẽ được qua ba đỉnh của tam giác.

III. Bài tập về trực tâm trong tam giác

Bài 1. Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HAC, HBC.

Giải:

Trong ΔABC ta có H là trực tâm nên:

AH ⊥ BC, BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

Trong ΔAHB, ta có:

AC ⊥ BH

BC ⊥ AH

Vì hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác AHB.

Trong ΔHAC, ta có:

AB ⊥ CH

CB ⊥ AH

Vì hai đường cao kẻ từ A và C cắt nhau tại B nên B là trực tâm của ΔHAC.

Trong ΔHBC, ta có:

BA ⊥ HC

CA ⊥ BH

Vì hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HBC.

Bài 2. Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

Giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Bài 3. Cho △ABC có các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.

Bài 4. Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.