Công thức tính tổ hợp chập k của n và cách giải các dạng bài tập

Công thức tính tổ hợp chập k của n và cách giải các dạng bài tập

I. Lý thuyết

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

- Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là : $C_n^k= \frac{n!}{(n-k)!k!}= \frac{A_n^k}{k!}$ .

- Tính chất :

$$\begin{gathered} C_n^0= C_n^n=1 \\ {C}_n^k= C_n^{n-k},(0\le k\le n) \\ {C}_{n+1}^{k+1}= C_n^k+C_n^{k+1},(1\le k\le n) \end{gathered}$$

- Đặc điểm: Tổ hợp là chọn phần tử không quan trọng thứ tự, số phần tử được chọn là k: 0 ≤ k ≤ n

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một tổ gồm 12 học sinh. Có bao nhiêu cách:

a) Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm

b) Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó

c) Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm.

Lời giải

a) Chọn 2 bạn từ 12 bạn là tổ hợp chập 2 của 12: C₁₂² = 66 cách.

b) Chọn 2 bạn rồi phân công chức vị là chỉnh hợp chập 2 của 12: A₁₂² = 132 cách.

c) Chia tổ thành 2 nhóm tức mỗi nhóm có 6 bạn

Trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ trưởng trong 10 bạn còn lại: C₁₀⁵ = 252 cách.

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ phó trong 5 bạn còn lại: C₅⁵ = 1 cách.

Vậy có 252.1 = 252 cách.

Bài 2: Một hộp có 15 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, 10 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 viên sao cho

a) Các viên bi cùng màu

b) Số bi xanh bằng số bi đỏ, biết luôn có bi xanh và đỏ

c) Có ít nhất 1 viên bi xanh.

Lời giải

a) Chọn 5 viên bi cùng màu

+ Trường hợp 1: Chọn được 5 viên bi màu đỏ: có C₁₅⁵ = 3003 cách.

+ Trường hợp 2: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có C₅⁵ = 1 cách.

+ Trường hợp 3: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có C₁₀⁵ = 252 cách.

Vậy có 3003 + 1 + 252 = 3256 cách chọn.

b) Chọn được 5 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

+ Trường hợp 1: có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng: C₅¹ . C₁₅¹. C₁₀³ = 9000 cách.

+ Trường hợp 2: có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng: C₅² . C₁₅². C₁₀¹ = 10500 cách.

Vậy có 9000 + 10500 = 19500 cách chọn.

c) Chọn được ít nhất 1 viên bi xanh

Số cách chọn 5 viên bi bất kì là: C₃₀⁵ = 14250 cách.

Số cách chọn 5 viên trong đó không có bi xanh là: C₂₅⁵ = 53130 cách.

Vậy số cách chọn được ít nhất 1 viên bi xanh là: 142506 – 53130 = 89376 cách chọn.