Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách xác định góc giữa hai vecto

Góc giữa hai vecto

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ

Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ đều khác vectơ-không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các vectơ . Khi đó số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc giữa hai vectơ , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ .

Phương pháp 2: (Áp dụng trong hệ tọa độ) Tính cos góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ.

Sử dụng công thức sau:

Cho hai vectơ . Khi đó

Chú ý: Góc giữa hai vectơ thuộc [0°;180°]

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vectơ:

Hướng dẫn giải:

- Nhớ lại khái niệm hai vectơ bằng nhau ở chương 1: Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.

- Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CB = CD.

Ví dụ 2: Cho các vectơ Tính góc giữa hai vectơ .

Hướng dẫn giải:

Vậy góc giữa hai vectơ là góc α ∈ [0°;180°] thỏa mãn .

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ . Tính góc giữa hai vectơ .

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 30°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho hai vectơ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện . Tính góc giữa hai vectơ .

A. 60°

B. 30°

C. 120°

D. 150°

Hướng dẫn giải:

Vì (bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài)

Đáp án C

Ví dụ 5: Cho các vectơ thỏa mãn . Góc giữa vectơ và vectơ là

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính góc giữa vecto a và vectơ c, biết vectơ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và cho các vectơ a và b thoả mãn |a| = 4, |b| = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: c = a – b

Nên c² = (a – b)² = a² – 2ab + b² = |a|² – 2|a| . |b| . cos(a,b) + |b|²

Suy ra c² = 4² – 2.4.1.cos60^o + 2² = 3 hay |c| = $\sqrt{3}$.

Ta lại có: a . c = a . (a – b) = a² – a . b hay a . c =3

Do đó a . c = |a| . |c| . cos (a, c)

Hay 3 = 2.$\sqrt{3}$. cos(a, c)

Do đó, cos(a, c) = $\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc giữa 2 vectơ bằng 30^o.

Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M là trung điểm của canh AB. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải

Lấy N là trung điểm của AC suy ra MN // BC.

Ta có: $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}\right)=180°-\widehat{OMN}$

Xét tam giác OMN có OM = ON = $\frac{1}{\sqrt{2}}$; MN = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra $\cos \widehat{OMN}=\frac{1}{2}$ hoặc $\widehat{OMN}=60°$.

Do đó $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=120°$.

Bài 3. Tính góc giữa 2 vectơ a và b, biết rằng 2 vectơ a và b có độ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |3a + 2b| = $\sqrt{7}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left|3a+2b\right|=\sqrt{7}$ hay ${\left(3a\cdot 2b\right)}^2 =7$ nên 9a² + 12b + 4b = 7

Vì a² = |a|² =1; b² = |b|² =1.

Nê 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 = 7 nên 12ab = 7 – 4 – 9 = –6 hay ab = $-\frac{1}{2}$.

Do đó: $cos\left(a;b\right)=\frac{a.b}{\left|a\right|.\left|b\right|}=-\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa 2 vectơ a và b là 120 độ.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD có $\widehat{BAD}=120°$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)

Suy ra $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$.

Mà $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=120°$.

Do đó $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=120°$.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng MN = $a\sqrt{3}$. Tính góc giữa AC và BD.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB, ta có IM = IN = a

Áp dụng định lý của Cosin cho tam giác IMN ta có:

$\cos \widehat{MIN}=\frac{I{M}^2+I{N}^2-M{N}^2}{2.IM.IN}$ = $\frac{a^2+a^2-3a^2}{2.a.a}=-\frac{1}{2}$

=> $\widehat{MIN}=60°$.

Vậy góc giữa AC và BD bằng 60 độ.

Bài 6. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{2i}+\overrightarrow{3j}$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;5\right);\overrightarrow{b}=\left(3;7\right)$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$.

Bài 8. cho hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện $\left|3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}=9\right|$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = $a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

• Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ (cực hay, chi tiết)
• Cách chứng minh Hai vecto vuông góc (cực hay, chi tiết)