Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

Chứng minh hai tam giác bằng nhau

I. LÝ THUYẾT:

1. Hai tam giác bằng nhau:

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau ta viết $\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$

$\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ nếu $\left\{\begin{array}{l}AB=A\text{'}B\text{'},BC=B\text{'}C\text{'},CA=C\text{'}A\text{'}.\\ \widehat{A}=\widehat{A\text{'}},\widehat{B}=\widehat{B\text{'}},\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}.\end{array}\right.$

2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác thường:

a. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của hai tam giác: cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và DEF có: $\left\{\begin{array}{l}AB=DE\\ BC=\text{EF}\\ CA=FD\end{array}\right.$ thì $\Delta ABC=\Delta D\text{EF}$ (c.c.c)

b. Trường hợp bằng nhau thứ hai của hai tam giác: cạnh - góc - cạnh (c.g.c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và MNP có:

$\left\{\begin{array}{l}AB=MN\\ \widehat{A}=\widehat{M}\\ AC=MP\end{array}\right.$ thì $\Delta ABC=\Delta MNP$(c.g.c)

*Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vuông của hai tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thi hai tam giác vuông đó bằng nhau.

c. Trường hợp bằng nhau thứ ba của hai tam giác: cạnh - góc - cạnh (g.c.g)

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một góc và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A'B'C' có:

$\begin{array}{l}\widehat{A}=\widehat{A\text{'}}\\ AB=A\text{'}B\text{'}\\ \widehat{B}=\widehat{B\text{'}}\end{array}$

Thì $\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ (g.c.g)

Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề với cạnh ấy của tam giác vuông này bằng cạnh góc vuông và góc nhọn kề với cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 2.1: Dựa vào hai tam giác bằng nhau để tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, chứng minh hai cạnh, hai góc bằng nhau.

1. Phương pháp giải:

Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra các cạnh, các góc tương ứng bằng nhau.

Chú ý: Căn cứ vào quy ước viết các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau theo đúng thứ tự, ta viết được các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho $\Delta ABC=\Delta MNP,\widehat{A}={80}^o,\widehat{P}={40}^o,BC=5cm$. Tính số đo các góc còn lại của tam giác MNP và độ dài cạnh NP.

Giải:

Ta có $\Delta ABC=\Delta MNP$

Theo định nghĩa hai tam giác bằng nhau:

BC = NP = 5cm

$\widehat{A}=\widehat{M}={80}^o$

$\widehat{C}=\widehat{P}={40}^o$

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP có:

$\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={180}^o$ $\Rightarrow \widehat{N}={180}^o-\widehat{M}-\widehat{P}$

$\Rightarrow \widehat{N}={180}^o-{80}^o-{40}^o={60}^o$

Vậy $\widehat{M}={80}^o,\widehat{N}={60}^o,$ NP = 5cm.

Dạng 2.2: Vẽ tam giác khi biết độ dài ba cạnh, biết hai cạnh và một góc xen giữa hoặc một cạnh và hai góc kề.

1. Phương pháp giải:

*Vẽ tam giác ABC biết độ dài ba cạnh:

- Vẽ một trong ba đoạn thẳng cho trước, ta chọn đoạn thẳng AB.

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính BC.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại C.

- Nối CA, CB, ta được tam giác ABC cần vẽ.

*Vẽ tam giác ABC biết độ dài hai cạnh AB, AC và góc BAC xen giữa:

- Vẽ $\widehat{\text{xAy}}=\widehat{\text{BAC}}$.

- Xác định điểm B thuộc tia Ax có độ dài AB cho trước.

- Xác định điểm C thuộc tia Ay có độ dài AC cho trước.

- Vẽ đoạn thẳng BC, ta được tam giác ABC cần vẽ.

*Vẽ tam giác ABC biết độ dài cạnh AB và hai góc kề là góc BAC và ABC:

- Vẽ đoạn thẳng AB.

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By sao cho $\widehat{\text{BAx}}=\widehat{\text{BAC}},\widehat{\text{ABy}}=\widehat{\text{ABC}}$

- Hai tia Ax và By cắt nhau tại C.

- Ta được tam giác ABC cần vẽ.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Vẽ tam giác ABC biết AB = 5cm, $\widehat{\text{BAC}}={45}^o,\widehat{\text{ABC}}={\text{60}}^o.$

Giải:

- Vẽ đoạn thẳng AB = 5cm.

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By sao cho $\widehat{\text{BAx}}={45}^o,\widehat{\text{ABy}}={\text{60}}^o.$

- Hai tia Ax và By cắt nhau tại C.

- Ta được tam giác ABC cần vẽ.

Dạng 2.3: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

1. Phương pháp giải:

- Xét hai tam giác.

- Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau: cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh hoặc góc -cạnh - góc.

- Kết luận hai tam giác bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Cho $\Delta \text{MNP}$ có $\text{PM = PN}$. Chứng minh: ${\widehat{\text{PMN}}=\widehat{\text{PNM}}}_{}$ bằng hai cách.

Giải:

Cách 1:

Lấy I là trung điểm của MN, nối I với P.

* Xét hai tam giác $\Delta \text{MIP}$ và $\Delta \text{NIP}$ có:

MI = NI (I là trung điểm của MN)

cạnh IP chung

PM = PN (gt)

Do đó: $\Delta \text{MIP}$ = $\Delta \text{NIP}$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{PMI}=\widehat{PNI}$ (2 góc tương ứng bằng nhau) hay $\widehat{\text{PMN}}=\widehat{\text{PNM}}$ (đpcm).

Cách 2:

Kẻ tia phân giác PH của góc $\widehat{MPN}$ cắt MN tại H.

* Xét hai tam giác $\Delta \text{MPH}$ và $\Delta NPH$ có:

PM = PN (gt)

$\widehat{MPH}=\widehat{HPN}$ (PH là tia phân giác của góc $\widehat{MPN}$)

cạnh PH chung

Do đó: $\Delta \text{MPH}$ = $\Delta NPH$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{PMH}=\widehat{PNH}$ (2 góc tương ứng bằng nhau) hay $\widehat{\text{PMN}}=\widehat{\text{PNM}}$(đpcm).

Ví dụ 4: Cho hình vẽ, biết OP = OQ và PE // FQ, hãy chứng minh $\Delta EOP=\Delta FOQ.$

Giải:

Vì PE // FQ nên $\widehat{OPE}=\widehat{OQF}$ (hai góc so le trong)

Xét $\Delta OPE$ và $\Delta OQF$ có:

$\widehat{OPE}=\widehat{OQF}$ (cmt)

OP = OQ (gt)

$\widehat{POE}=\widehat{QOF}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên $\Delta OPE=\Delta OQF(g.c.g)$

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Cho $\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Biết $\widehat{ABC}={60}^{\circ }$. Số đo góc A’B’C’ là:

A. 60^o

B. 70^o

C. 80^o

D. 90^o

Bài 2: Cho hình vẽ sau, khoanh tròn vào các đáp án đúng:

$\Delta DBC=\Delta ABC$ vì có:

A. Cạnh chung BD.

B. BD = CA.

C. Cạnh chung BC.

D. CD = CA.

E. BD = BA.

F. CD = BA.

Bài 3: Cho hình vẽ:

a) Cần có thêm điều kiện gì để $\Delta AFC=\Delta BFD(c.c.c)$?

b) Cho $\Delta AFC=\Delta BFD(c.c.c)$. Biết $\widehat{ACF}={60}^{\circ }$. Em có thể tính góc nào của tam giác BFD?

Bài 4: Cho hình vẽ sau, tìm tất cả các cặp tam giác bằng nhau và chứng minh.

Bài 5: Cho tam giác ABC có AC = BC, D là trung điểm của AB. Biết $\widehat{CA\text{D}}={65}^{\circ }$. Tính số đo $\widehat{CB\text{D}}$.

Bài 6: Vẽ tam giác ABC biết AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 3cm.

Bài 7: Vẽ tam giác DEF biết DE = 6cm, DF = 5cm, $\widehat{EDF}={45}^o.$

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AI của tam giác (I nằm trên BC), biết góc ngoài tại đỉnh C là 150o. Tính góc $\widehat{AIC},\widehat{AIB}.$

Bài 9: Cho $\Delta EFM=\Delta KPN$ và $\widehat{E}=\widehat{K}={90}^o$. Tính tỉ số diện tích của tam giác EFM và diện tích tam giác KPN.

Bài 10: Cho tam giác ABC có $\widehat{A}={90}^o$, tia phân giác BD của góc B $\left(D\in AC\right)$. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh rằng $\widehat{EDC}$ = $\widehat{ABC}$;

b) Chứng minh BD là trung trực của AE.

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án A.

Bài 2: Đáp án C, D, E.

Bài 3:

a) AC = BD

b) $\widehat{BDF}={60}^{\circ }$

Bài 4:

$\Delta ABC=\Delta AED\left(c.c.c\right)$

$\Delta ABD=\Delta AEC(c.c.c)$

Bài 5:

Xét $\Delta ACD$ và $\Delta BCD$ có:

AC = BC (gt)

AD = BD (vì D là trung điểm của AB)

Cạnh CD chung

Nên $\Delta ACD=\Delta BCD(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{CA\text{D}}=\widehat{CB\text{D}}$ (hai góc tương ứng)

Do đó $\widehat{CB\text{D}}={65}^{\circ }$

Bài 6:

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng AB = 7cm.

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính 3cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại C.

- Nối CA, CB ta được tam giác ABC cần vẽ.

Bài 7:

Cách vẽ:

- Vẽ $\widehat{\text{xDy}}={45}^o.$

- Trên tia Dx lấy điểm E sao cho DE = 6cm.

- Trên tia Dy lấy điểm F sao cho DF = 5cm.

- Nối E với F ta được tam giác DEF cần vẽ.

Bài 8:

Dễ có: $\widehat{ACB}=30°$ và $\widehat{IAC}=45°$

Nên $\widehat{AIC}=105°,\widehat{AIB}=75°$

Bài 9: Vì $\Delta EFM=\Delta KPN$ nên $EF=KP;EM=KN;FM=PN$.

Tam giác EFM có $\widehat{E}={90}^o$ $\Rightarrow \Delta EFM$ vuông tại E $\Rightarrow S_{EFM}=\frac{1}{2}EF.EM$.

Tam giác KPN có $\widehat{K}={90}^o$ $\Rightarrow \Delta KPN$ vuông tại K $\Rightarrow S_{KPN}=\frac{1}{2}KP.KN$.

Khi đó: $\frac{S_{EFM}}{S_{KPN}}=\frac{EF.EM}{KP.KN}=\frac{KP.KN}{KP.KN}=1.$

Bài 10:

a) $\Delta ABD=\Delta EBD\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{DEB}={90}^o$

Ta chứng minh được $\widehat{EDC}=\widehat{ABC}$ (vì cùng phụ với góc ACB).

b) Gọi I là giao điểm của AE và BD.

+ Chứng minh

$\Delta AIB=\Delta EIB\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow AI=EI;\widehat{AIB}=\widehat{EIB}$

$\widehat{AIB}+\widehat{EIB}={180}^o\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{EIB}={90}^o$

$\Rightarrow AE\perp BD$

Từ đó chứng minh được BD là đường trung trực của AE.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết khác: