Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách chứng minh trung điểm

Cách chứng minh trung điểm

1. Phương pháp giải

Ta sử dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng để nhận biết trung điểm của đoạn thẳng như sau:

Giả sử cho 3 điểm A , B và C. Để chứng minh B là trung điểm của AC, ta có:

Bước 1: Chứng minh điểm B nằm giữa 2 điểm A và C hay B thuộc đoạn thẳng AC.

Bước 2: Chứng minh độ dài hai đoạn thẳng AB và BC bằng nhau hay AB = BC và AB + BC = AC.

Bước 3: Kết luận B là trung điểm của AC dựa trên 2 đặc điểm: nằm giữa và tạo thành 2 đoạn thẳng bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ). Tiếp tuyến tại A và B của ( O ) cắt nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của ( O ) ( P nằm giữa M và Q ) song song với BC cắt AC tại E. Chứng minh rằng E là trung điểm của PQ.

Hướng dẫn giải:

Vì MA , MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn ( O ) nên MA = MB

Xét tam giác MAO và tam giác MBO có:

MA = MB ( chứng minh trên )

MO chung

OA = OB

=> tam giác MAO = tam giác MBO ( cạnh - cạnh - cạnh )

=> góc MOA = góc MOB

=> góc MOA = góc AOB / 2 (1)

Vì PQ // BC => góc MEA = góc BCA ( đồng vị )

Mà góc BCA = góc AOB / 2 => góc MEA = góc AOB / 2 (2)

Từ (1) và (2) => góc MEA = góc MOA

=> tứ giác MOEA nội tiếp

=> góc MEO = góc MAO = 90 độ ( do MA là tiếp tuyến )

=> EO vuông góc với dây cung PQ

=> E là trung điểm PQ ( điều phải chứng minh ).

3. Bài tập thực hành

Câu 1: M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi:

A. MA = MB B. AM = (1/2)AB

C. MA + MB = AB D. MA + MB = AB và MA = MB

Lời giải:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Chọn đáp án D.

Câu 2: Nếu ta có P là trung điểm MN thì:

A. MP = NP = MN/2 B. MP + NP = 2MN

C. MP = NP = MN/4 D. MP = NP = MN

Lời giải:

Ta có P là trung điểm MN thì MP = NP = MN/2

Chọn đáp án A.

Câu 3: Cho đoạn thẳng AB dài 12 cm, M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khi đó, độ dài đoạn thẳng MA bằng:

A. 3cm B. 15cm C. 6cm D. 20cm

Lời giải:

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ AM = (1/2).AB = (1/2).12 = 6cm

Vậy AM = 6cm

Chọn đáp án C.

Câu 4: Cho I là trung điểm đoạn thẳng MN. Biết NI = 8cm . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. 4cm B. 16cm C. 21cm D. 24cm

Lời giải:

Vì I là trung điểm đoạn thẳng MN nên IM = IN = (1/2).MN hay MN = 2.IN = 2.8 = 16cm

Chọn đáp án B.

Câu 5: Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 3cm, OB = 6cm. Chọn câu sai:

A. Điểm A nằm giữa hai điểm O và B B. Điểm A là trung điểm đoạn OB

C. Điểm O là trung điểm đoạn AB D. OA = AB = 3cm

Lời giải:

Vì hai điểm A, B cùng thuộc tia Ox mà OA < OB (3cm < 6cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B (1)

Do đó OA + AB = OB ⇒ AB = OB - OA = 6 - 3 = 3cm. Suy ra OA = AB = 3cm (2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm đoạn OB.

Vậy A, B, D đúng, C sai.

Chọn đáp án C.

Câu 6: Cho hai tia đối nhau Ox và Ox’. Trên tia Ox vẽ điểm A sao cho OA = 3cm . Trên tia Ox’ vẽ điểm B sao cho OB = 3cm . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. A ≡ B

B. O là trung điểm của AB

C. A, B nằm cùng phía so với điểm O

D. A nằm giữa O và B

Lời giải:

Vì A thuộc tia Ox, B thuộc tia Ox’ mà Ox và Ox’ là hai tia đối nhau nên O nằm giữa A và B (1)

Mặt khác OA = OB = 3cm (2)

Từ (1) và (2) suy ra, O là trung điểm của AB

Chọn đáp án B

Câu 7: Cho đoạn thẳng AB dài 8cm. Gọi C là trung điểm của AB. Lấy D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AD = BE = 1cm. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. C là trung điểm của DE

B. D là trung điểm của AC

C. E là trung điểm của BC

D. D là trung điểm của AE

Lời giải:

Chọn đáp án A

Câu 8: Lấy hai điểm A, B rồi lấy điểm C sao cho A là trung điểm của đoạn BC. Lấy điểm D sao cho B là trung điểm của đoạn AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. CD = AB

B. CD = 2AB

C. CD = 3AB

D. CD = 4AB

Lời giải:

Gọi khoảng cách giữa A và B là a

Vì A là trung điểm của BC nên AC = AB = a

Vì B là trung điểm của AD nên AB = BD = a

Suy ra, CD = CA + AB + BD = a + a + a = 3a = 3AB

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho đoạn thẳng AB = 8cm , C là điểm nằm giữa A, B. Gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm của CB. Tính MN?

A. MN = 2cm

B. MN = 4cm

C. MN = 6cm

D. MN = 8cm

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 10: Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là?

A. Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB

B. Nếu AM = thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB

C. Nếu MA + MB = AB và MA = MB thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB

D. Nếu MA + MB = AB và M nằm giữa A, B thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Lời giải:

M là trung điểm của AB nếu M nằm giữa A, B và cách đều A, B

Hay MA + MB = AB và MA = MB thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Chọn đáp án C