Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách chứng minh trung điểm

Cách chứng minh trung điểm

1. Phương pháp giải

Ta sử dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng để nhận biết trung điểm của đoạn thẳng như sau:

Giả sử cho 3 điểm A , B và C. Để chứng minh B là trung điểm của AC, ta có:

Bước 1: Chứng minh điểm B nằm giữa 2 điểm A và C hay B thuộc đoạn thẳng AC.

Bước 2: Chứng minh độ dài hai đoạn thẳng AB và BC bằng nhau hay AB = BC và AB + BC = AC.

Bước 3: Kết luận B là trung điểm của AC dựa trên 2 đặc điểm: nằm giữa và tạo thành 2 đoạn thẳng bằng nhau.

2.Bài tâp thực hành

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ). Tiếp tuyến tại A và B của ( O ) cắt nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của ( O ) ( P nằm giữa M và Q ) song song với BC cắt AC tại E. Chứng minh rằng E là trung điểm của PQ.

Hướng dẫn giải:

Vì MA , MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn ( O ) nên MA = MB

Xét tam giác MAO và tam giác MBO có:

MA = MB ( chứng minh trên )

MO chung

OA = OB

=> tam giác MAO = tam giác MBO ( cạnh - cạnh - cạnh )

=> góc MOA = góc MOB

=> góc MOA = góc AOB / 2 (1)

Vì PQ // BC => góc MEA = góc BCA ( đồng vị )

Mà góc BCA = góc AOB / 2 => góc MEA = góc AOB / 2 (2)

Từ (1) và (2) => góc MEA = góc MOA

=> tứ giác MOEA nội tiếp

=> góc MEO = góc MAO = 90 độ ( do MA là tiếp tuyến )

=> EO vuông góc với dây cung PQ

=> E là trung điểm PQ ( điều phải chứng minh ).