Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, 4, 8, 25, 125, 11

1. Dấu hiệu số các số chia hết cho 2

– Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số chia hết cho 2 là các số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 tức là số tận cùng là những số chẵn: 0, 2, 4, 6, 8.

– Ví dụ: số 20 có chữ số tận cùng là số 0 thì chia hết cho 2, tương tự với số 12, 16, 18, 36 đều chia hết cho 2. Số 33 có chữ số tận cùng là 3 thì không chia hết cho 2, tương tự như vậy số 13, 43, 55, 89 thì không chia hết cho 2.

2. Dấu hiệu số các số chia hết cho 3

– Dấu hiệu chia hết cho 3 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

– Ví dụ: 12 có tổng các chữ số: 1 + 2 = 3, 126 có tổng các chữ số là: 1 + 2 + 6 = 9 chia hết cho 3. 333 có tổ các chữ số: 3+3+3 = 9 mà 9 chia hết cho 3 nên 333 cũng chia hết cho 3.

23 có tổng các chữ số: 2+3 = 5 mà 5 không chia hết cho 3 nên 23 cũng không chia hết cho 3.

3. Dấu hiệu số các số chia hết cho 5

– Dấu hiệu chia hết cho 5 là: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

– Ví dụ: số 10 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5, tương tự như vậy những số: 15, 55, 30, 45 đều chia hết cho 5.

Số 43 có chữ số tận cùng là 3, không phải 0 và 5 nên không chia hết cho 5, tương tự số 13, 23, 33 cũng vậy nên đều không chia hết cho 5.

4. Dấu hiệu số các số chia hết cho 9

– Dấu hiệu chia hết cho 9 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

– Ví dụ: 171 có tổng các chữ số là: 1+7+1= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 171 chia hết cho 9. Số 27 có tổng các chữ số là: 2+7= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 27 chia hết cho 9.

Số 65 có tổng các chữ số là +: 6+5= 11 mà 11 không chia hết cho 9 cho nên 65 không chia hết cho 9. Tương tự như vậy 994 có tổng các chữ số là: 9+9+4= 22 mà 22 không chia hết cho 9 nên 994 không chia hết cho 9.

5. Dấu hiệu số các số chia hết cho 4

– Dấu hiệu chia hết cho 4: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.

– Ví dụ: 136 có 2 chữ số tận cùng là 36 mà 36 chia hết cho 4 cho nên 136 cũng chia hết cho 4. Hoặc số 172 có 2 chữ số tận cùng 73 mà 72 chia hết cho 4 cho nên 172 cũng chia hết cho 4.

Số 413 có 2 chữ số tận cùng là 13 mà 13 không chia hết cho 4 nên 413 cũng không chia hết cho 4. Số 233 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 4 cho nên 233 cũng không chia hết cho 4.

6. Dấu hiệu số các số chia hết cho 8

– Dấu hiệu chia hết cho 8: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8

– Ví dụ: 3904 có chia hết cho 8 vì 904 chia hết cho 8. 1800 có 3 chữ tận cùng là 800 mà 800 chia hết cho 8 cho nên 1800 chia hết cho 8. Số 1128 có 3 chữ số tận cùng là 128 mà 128 chia hết cho 8 cho nên 1128 cũng chia hết cho 8.

Số 2123 có 3 chữ số tận cùng là 123 mà 123 không chia hết cho 8 cho nên 2123 không chia hết cho 8. Số 3162 có chữ số tận cùng là 162 mà 162 không chia hết cho 8 cho nên 3162 cũng không chia hết cho 8.

7. Dấu hiệu số các số chia hết cho 25

– Dấu hiệu chia hết cho 25: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 25.

– Ví dụ: 12231225 chia hết cho 25 vì 25 chia hết cho 25. Số 5350 có 2 chữ số tận cùng là 50 mà 50 chia hết cho 25 nên 5350 chia hết cho 25. Số 375 có 2 chữ số tận cùng là 75 mà 75 chia hết cho 25 cho nên 375 chia hết cho 25.

Số 333 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 25 cho nên số 333 không chia hết cho 25. Số 652 có 2 chữ số tận cùng là 52 mà 52 không chia hết cho 25 nên 652 cũng không chia hết cho 25. Tương tự như vậy các số 487, 222, 999… vì 2 chữ số tận cùng không chia hết cho 25 nên chúng cũng không chia hết cho 25.

8. Dấu hiệu số các số chia hết cho 125

– Dấu hiệu chia hết cho 125: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125

– Ví dụ: 1125 có 3 chữ số tận cùng là 125 mà 125 chia hết cho 125 cho nên 1125 cũng chia hết cho 25. Số 2250 có 3 chữ số tận cùng là 250 mà 250 chia hết cho 25 cho nên 2250 cũng chia hết cho 25. Tương tự như vậy những số  12125, 3250, 5375, 10375… vì có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 nên những số đó đều chia hết cho 125.

Số 1225 có 3 chữ số tận cùng là 225 mà 225 không chia hết cho 125 nên 1225 cũng không chia hết cho 125. Số 7561 có 3 chữ số tận cùng là 561 mà 561 không chia hết cho 125 cho nên số 7561 cũng không chia hết cho 125. Tương tự như vậy những số 80124, 14255,… có 3 chữ số tận cùng không chia hết cho 125 nên những số đó đều không chia hết cho 125.

9. Dấu hiệu số các số chia hết cho 11

– Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ – Tổng các chữ số hàng chẵn hoặc ngược lại chia hết cho 11.

– Ví dụ: 253 có chia hết cho 11 không?

Ta có: (2 + 3) – 5 = 5 – 5 = 0 ⋮ 11

=> 253 ⋮ 11.

Ví dụ: 23465 có chia hết cho 11 không?

Ta có: (2 + 4 + 5) – (3 + 6) = 11 – 9 = 2 không chia hết cho 11 nên suy ra: 23465 không chia hết cho 11.

10. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó

a) Chứng minh rằng b chia hết cho a.

b) Giả sử b = ka (k thuộc N), chứng minh rằng k là ước của 10.

c) Tìm các số ab nói trên.

Bài 2. Cho A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + 1. Chứng minh rằng A chia hết cho 5

Bài 3. Điền các chữ số thích hợp vào dấu ∗, sao cho:

a) 521∗ chia hết cho 8 ;

b) 2∗8∗7∗ chia hết cho 9, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng nghìn là 2.

Bài 4. Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng:

a) Tổng của chúng bằng ∗657 và hiệu của chúng bằng 5∗91 ;

b) Tổng của chúng bằng 513∗ và số lớn gấp đôi số nhỏ.

Bài 5. Chứng minh rằng :

a) 2n + 11…1 chia hết cho 3;

b) 10n + 18n – 1 chia hết cho 27 ;

c) 10n + 72n – 1 chia hết cho 81.

Bài 6. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng hai chữ số giữa của số đó là 97.