Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác lớp 11

    Với tài liệu về Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác lớp 11 bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 970 07/01/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác lớp 11

    I. Lý thuyết

    1. Kiến thức cơ bản

    - Khái niệm: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng ( quy ước chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ) và trên đó chọn điệm A làm gốc.

    - Điểm M(x;y) trên đường tròn lượng giác sao cho (OA; OM) = α được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo α.

    Trục Ox được gọi là trục giá trị của cos.

    Trục Oy được gọi là trục giá trị của sin.

    Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy được gọi là trục giá trị của tan.

    Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox được gọi là trục giá trị của cot.

    Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác lớp 11 (ảnh 1)

    - Giá trị lượng giác sin, cosin, tan và cot:

    Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác lớp 11 (ảnh 1)

    Dấu của các giá trị lượng giác

    Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác lớp 11 (ảnh 1)

    Cung liên kết

    Góc đối nhau

    ( cos đối)

    Góc bù nhau

    (sin bù)

    Góc phụ nhau

    (Phụ chéo)

    Góc hơn kém

    (Khác pi tan)
    cos (-α)= cos α Sin (π-α) = sin α sin (π/2-α)= cos α Sin (π+α) = -sin α
    Sin (-α) = -sin α Cos (π-α) – cos α cos (π/2-α) = sinα cos (π+α) = -cosα
    Tan (-α) = tan α Tan (π-α)= -tan α Tan (π/2-α) = cot α tan (π+α) = tanα
    cot (-α) = -cot α cota (π-α)= - cot α Cot (π/2-α) = tan α

    cot (π+α) = cotα

    2. Các công thức trọng tâm

    - Công thức cơ bản

    Sin2x + cos2x =1 Tanx = sinx/cosx Cotx = cosx/sinx
    Tanx.cotx = 1 1+tan2x = 1/ cos2x 1 + cot2x = 1/sin2x

    Công thức cộng

    Cos (a+b) = cosa.cosb - sina.sinb

    Cos (a-b) = cosacosb + sina.sinb

    Sin (a+b) = sina.cosb + sinb.cosa

    tan (a+b) = (tana + tanb)/ (1 - tana.tanb)

    tan (a-b) = (tana - tanb)/ (1 + tana.tanb)

    Công thức nhân đôi, hạ bậc

    Sin2a = 2sina.cosa, tan 2a = 2tana/(1 - tan²a)

    Cos2a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a = cos²a - sin²a

    Sin²a = (1-cos2a)/2, cos²a = (1+ cos2a)/2

    Cos3a = 4cos³a - 3cosa ⇒ cos³a = (3cosa + cos3a) / 4

    Sin3a = 3sina - 4sin³a ⇒ sin³a = (3sina -sin3a)/4

    Công thức biến đổi tổng thành tích

    Cosa + cosb = 2cos (a+b)/2.cos (a-b)/2

    Cosa - cosb = -2sin(a+b)2.sin (a-b)/2.

    Sina+sinb = 2sin(a+b)/2.cos (a-b)/2

    Công thức biến đổi tích thành tổng

    Cosa.cosb = 1/2 [cos (a-b) +cos (a+b)]

    Sina.sinb = 1/2 [cos(a-b)- cos(a+b)]

    Sina.cosb = 1/2 [ sin (a-b) + sin (a+b)].

    II. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Tính:

    a. cos37π12;

    b. tanπ24+tan7π24.

    Lời giải:

    a. cos37π12=cos2π+π+π12

    =cosπ+π12

    =−cosπ12

    =−cosπ3−π4

    =−cosπ3.cosπ4+sinπ3.sinπ4

    =−6+24

    b.tanπ24+tan7π24=sinπ3cosπ24.cos7π24

    =3cosπ3+cosπ4=26−3

    Bài 2: Tính:

    a. tanx+π4 biết sinx=35 với π2<x<π;

    b. cosα−β biết sinα=513, π2<α<π và , 0<β<π2.

    Lời giải:

    a. Ta có:

    sin2x+cos2x=1⇒cosx=±1−sin2x=±1−925=±45 .

    Vì π2<x<π nên cosx=−45

    Do đó tanx=sinxcosx=−34.

    Ta có: tanx+π4=tanx+tanπ41−tanx.tanπ4=−34+11+34=17.

    b. Ta có:

    sinα=513, π2<α<π nên cosα=−1−5132=−1213.

    cosβ=35, 0<β<π2 nên sinβ=1−352=45.

    cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ =−1213.35+513.45=−1665 .

    Bài 3: Chứng minh rằng:
    a. sin4x+cos4x= 14cos4x+34
    b. cos3x.sin3x+sin3x.cos3x=34sin4x

    Lời giải:

    a. (Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có:

    VT=sin4x+cos4x

    =(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x

    =1−12sin22x=1−12.1−cos4x2

    =34+14cos4x=VP

    Suy ra đpcm.

    b. (Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có:

    VT= 14cos3x3sinx−sin3x+ 14sin3x3cosx+cos3x

     =34sinx.cos3x+cosx.sin3x=34sin4x=VP

    Suy ra đpcm.

    Bài 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

    sin3B2cosA+C2+cos3B2sinA+C2−cos(A+C)sinB.tanB=2

    Lời giải:

    Do tam giác ABC có A+B+C=1800, suy ra A+C=1800−B

    Do đó, ta có:

    VT=sin3B2cos1800−B2+cos3B2sin1800−B2−cos1800−BsinB.tanB

    =sin3B2sinB2+cos3B2cosB2−−cosBsinB.tanB

    =sin2B2+cos2B2+1=2=VP

    Suy ra đpcm.

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 970 07/01/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: