Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác lớp 11

Những kiến thức cơ bản về đường tròn lượng giác lớp 11

I. Lý thuyết

1. Kiến thức cơ bản

- Khái niệm: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng ( quy ước chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ) và trên đó chọn điệm A làm gốc.

- Điểm M(x;y) trên đường tròn lượng giác sao cho (OA; OM) = α được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo α.

Trục Ox được gọi là trục giá trị của cos.

Trục Oy được gọi là trục giá trị của sin.

Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy được gọi là trục giá trị của tan.

Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox được gọi là trục giá trị của cot.

- Giá trị lượng giác sin, cosin, tan và cot:

Dấu của các giá trị lượng giác

Cung liên kết

Góc đối nhau ( cos đối)	Góc bù nhau (sin bù)	Góc phụ nhau (Phụ chéo)	Góc hơn kém (Khác pi tan)
cos (-α)= cos α	Sin (π-α) = sin α	sin (π/2-α)= cos α	Sin (π+α) = -sin α
Sin (-α) = -sin α	Cos (π-α) – cos α	cos (π/2-α) = sinα	cos (π+α) = -cosα
Tan (-α) = tan α	Tan (π-α)= -tan α	Tan (π/2-α) = cot α	tan (π+α) = tanα
cot (-α) = -cot α	cota (π-α)= - cot α	Cot (π/2-α) = tan α	cot (π+α) = cotα

2. Các công thức trọng tâm

- Công thức cơ bản

Sin2x + cos2x =1	Tanx = sinx/cosx	Cotx = cosx/sinx
Tanx.cotx = 1	1+tan2x = 1/ cos2x	1 + cot2x = 1/sin2x

Công thức cộng

Cos (a+b) = cosa.cosb - sina.sinb

Cos (a-b) = cosacosb + sina.sinb

Sin (a+b) = sina.cosb + sinb.cosa

tan (a+b) = (tana + tanb)/ (1 - tana.tanb)

tan (a-b) = (tana - tanb)/ (1 + tana.tanb)

Công thức nhân đôi, hạ bậc

Sin2a = 2sina.cosa, tan 2a = 2tana/(1 - tan²a)

Cos2a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a = cos²a - sin²a

Sin²a = (1-cos2a)/2, cos²a = (1+ cos2a)/2

Cos3a = 4cos³a - 3cosa ⇒ cos³a = (3cosa + cos3a) / 4

Sin3a = 3sina - 4sin³a ⇒ sin³a = (3sina -sin3a)/4

Công thức biến đổi tổng thành tích

Cosa + cosb = 2cos (a+b)/2.cos (a-b)/2

Cosa - cosb = -2sin(a+b)2.sin (a-b)/2.

Sina+sinb = 2sin(a+b)/2.cos (a-b)/2

Công thức biến đổi tích thành tổng

Cosa.cosb = 1/2 [cos (a-b) +cos (a+b)]

Sina.sinb = 1/2 [cos(a-b)- cos(a+b)]

Sina.cosb = 1/2 [ sin (a-b) + sin (a+b)].

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính:

a. $\cos \frac{37\pi }{12}$;

b. $\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}$.

Lời giải:

a. $\cos \frac{37\pi }{12}$$=\cos \left(2\pi +\pi +\frac{\pi }{12}\right)$

$=\cos \left(\pi +\frac{\pi }{12}\right)$

$=-\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)$

$=-\cos \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)$

$=-\left(\cos \frac{\pi }{3}.\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{3}.sin\frac{\pi }{4}\right)$

$=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

b.$\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{24}.\cos \frac{7\pi }{24}}$

$=\frac{\sqrt{3}}{\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{4}}=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)$

Bài 2: Tính:

a. $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ biết $\sin x=\frac{3}{5}$ với $\frac{\pi }{2}<x<\pi$;

b. $\cos \left(\alpha -\beta \right)$ biết $\sin \alpha =\frac{5}{13}$, $\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$ và , $\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right)$.

Lời giải:

a. Ta có:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\Rightarrow \cos x=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm \frac{4}{5}$ .

Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $\cos x=-\frac{4}{5}$

Do đó $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{4}$.

Ta có: $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan x+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan x.\tan \frac{\pi }{4}}=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1+\frac{3}{4}}=\frac{1}{7}$.

b. Ta có:

$\sin \alpha =\frac{5}{13}$, $\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=-\frac{12}{13}$.

$\cos \beta =\frac{3}{5}$, $\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\sin \beta =\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$.

$\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ $=-\frac{12}{13}.\frac{3}{5}+\frac{5}{13}.\frac{4}{5}=-\frac{16}{65}$ .

Bài 3: Chứng minh rằng:
a. $si{n}^{4}x+co{s}^{4}x= \frac{1}{4}cos4x+\frac{3}{4}$
b. $cos3x.si{n}^{3}x+sin3x.co{s}^{3}x=\frac{3}{4}sin4x$

Lời giải:

a. (Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có:

$VT={\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$

$={({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$

$=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4x}{2}$

$=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x=VP$

Suy ra đpcm.

b. (Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có:

$VT= \frac{1}{4}\cos 3x\left(3sinx-sin3x\right)+ \frac{1}{4}\sin 3x\left(3cosx+cos3x\right)$

$=\frac{3}{4}\left(sinx.cos3x+cosx.sin3x\right)=\frac{3}{4}sin4x=VP$

Suy ra đpcm.

Bài 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{A+C}{2}\right)}-\frac{\cos (A+C)}{\sin B}.\tan B=2$

Lời giải:

Do tam giác ABC có $A+B+C={180}^0$, suy ra $A+C={180}^0-B$

Do đó, ta có:

$VT=\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\cos \left(\frac{{180}^0-B}{2}\right)}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\sin \left(\frac{{180}^0-B}{2}\right)}-\frac{\cos \left({180}^0-B\right)}{\sin B}.\tan B$

$=\frac{{\sin }^3\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{{\cos }^3\frac{B}{2}}{\cos \frac{B}{2}}-\frac{-\cos B}{\sin B}.\tan B$

$={\sin }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}+1=2=VP$

Suy ra đpcm.