Lý thuyết, cách xác định và bài tập về tìm tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số

1. Phương pháp giải

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

Chú ý: Nếu P(x) là một đa thức thì:

2. Bài tập tự luyện

Ví dụ minh họa hoặc bài tập có giải

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ: x² + 3x - 4 ≠ 0

Suy ra tập xác định của hàm số là D = R\{1; -4}.

b) ĐKXĐ:

c) ĐKXĐ: x³ + x² - 5x - 2 = 0

Suy ra tập xác định của hàm số là

d) ĐKXĐ: (x² - 1)² - 2x² ≠ 0 ⇔ (x² - √2.x - 1)(x² + √2.x - 1) ≠ 0

Suy ra tập xác định của hàm số là:

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ:

Suy ra tập xác định của hàm số là D = (1/2; +∞)\{3}.

b) ĐKXĐ:

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [-2; +∞)\{0;2}.

c) ĐKXĐ:

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [-5/3; 5/3]\{-1}

d) ĐKXĐ: x² - 16 > 0 ⇔ |x| > 4

Suy ra tập xác định của hàm số là D = (-∞; -4) ∪ (4; +∞).

Ví dụ 3: Cho hàm số: với m là tham số

a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m.

b) Tìm m để hàm số xác định trên (0; 1)

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ:

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [m-2; +∞)\{m-1}.

b) Hàm số xác định trên (0; 1) ⇔ (0;1) ⊂ [m - 2; m - 1) ∪ (m - 1; +∞)

Vậy m ∈ (-∞; 1] ∪ {2} là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Cho hàm số với m là tham số.

a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 1.

b) Tìm m để hàm số có tập xác định là [0; +∞)

Hướng dẫn:

ĐKXĐ:

a) Khi m = 1 ta có ĐKXĐ:

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [(-1)/2; +∞)\{0}.

b) Với 1 - m ≥ (3m - 4)/2 ⇔ m ≤ 6/5, khi đó tập xác định của hàm số là

D = [(3m - 4)/2; +∞)\{1 - m}

Do đó m ≤ 6/5 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m > 6/5 khi đó tập xác định của hàm số là D = [(3m - 4)/2; +∞).

Do đó để hàm số có tập xác định là [0; +∞) thì (3m - 4)/2 = 0 ⇔ m = 4/3 (thỏa mãn)

Vậy m = 4/3 là giá trị cần tìm.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2+5}{x^2+3x-4}$

b) $y=\frac{2x+3}{\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: x² - 3x + 4 ≠ 0 nên $\left\{\begin{array}{c}x\ne 1\\ x\ne -4\end{array}\right.$.

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{1; –4}.

b) ĐKXĐ: (x + 1)(x² + 5x + 6) ≠ 0 nên $\left\{\begin{array}{c}x\ne -1\\ x\ne -2\\ x\ne -3\end{array}\right.$.

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{–1; –2; –3}.

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x^2+3x+2}{x^3+x^2-5x-2}$

b) $y=\frac{x+6}{{\left(x-1\right)}^2-2x^2}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: x³ + x² - 5x - 2 ≠ 0 nên $\left\{\begin{array}{c}x\ne 2\\ x\ne \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left\{-2;\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}\right\}$.

b) ĐKXĐ: ${\left(x-1\right)}^2-2x^2\ne 0$

$\iff \left(x^2-\sqrt{2}x-1\right)\left(x^2+\sqrt{2}x-1\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne \frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2}\\ x\ne \frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2}\end{array}\right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2};\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2}\right\}$

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x+1}{\sqrt{3x+2}}$

b) $y=\frac{\sqrt{x+2}}{\left(x+3\right)\sqrt{x^2-4x+4}}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: 3x + 2 > 0 hay x > $-\frac{2}{3}$.

Suy ra tập xác định của hàm số là D = $\left(-\frac{2}{3};\infty \right)$.

b) ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{c}x+3\ne 0\\ x^2-4x+4>0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{c}x\ne -3\\ x\ne 2\end{array}\right.$.

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{2; –3}.

Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sqrt{5-3\left|x\right|}}{x^2+4x+3}$

b) $y=\frac{x+5}{\sqrt{x^2-25}}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: $x^2+4x+3\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne -1\\ x\ne -3\end{array}\right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là D = ℝ\{–1; –3}.

b) ĐKXĐ: x² - 25 > 0 nên x < –5 hoặc x > 5

Suy ra tập xác định của hàm số là D = (–∞; –5) ∪ (5; +∞).

Bài 5. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{x+5}-\sqrt{x+7}$

b) $y=\frac{\sqrt[3]{x^2-1}}{x^2-2x+3}$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{c}x+5\ge 0\\ x+7\ge 0\end{array}\right.$ nên x ≥ -5

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [–5; +∞).

b) ĐKXĐ: $x^2-2x+3\ne 0$

Hàm số $x^2-2x+3>0\forall x$

Suy ra tập xác định của hàm số là ℝ.

Bài 6. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{3}\text{ khi }x\ge 1\\ \sqrt{x+2}\text{ khi }x<1\end{array}\right.$

b) $y=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x-5}\text{ khi }x\ge 1\\ \sqrt{x-5}\text{ khi }x<1\end{array}\right.$

Bài 7. Cho hàm số $y=\sqrt{2x-3m+4}+\frac{x}{x+m-1}$ với m là tham số.

a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 2.

b) Tìm m để hàm số có tập xác định là [0; +∞).

Bài 8. Tìm m để hàm số $y=\sqrt{x^2-mx+3}$ xác định trên (0; 3).

Bài 9. Tìm m để hàm số $y=\sqrt{x-m+1}+\frac{2x}{\sqrt{-x+2m}}$ xác định trên (–1; 3).

Bài 10. Tìm m để hàm số $y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-m+1}}$ xác định trên [0; +∞).