Lý thuyết, cách xác định và bài tập hệ thức lượng tam giác vuông

Hệ thức lượng tam giác vuông

I. Khái niệm hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho ΔABC, góc A bằng 90⁰, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

+ BH = c' được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b' được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

1) AB² = BH.BC hay c² = a.c'

AC² = CH.BC hay b² = a.b'

2) AH² = CH.BH hay h² = b'.c'

3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

5) AB² + AC² = BC² hay b² + c² = a² (Định lý Py)

II. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Khái niệm

2. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.:31

3. So sánh các tỉ số lượng giác

a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

* sinα < sinβ; tanα < tanβ

*cosα > cosβ; cotα > cotβ

b) sinα < tanα; cosα < cotα

III. Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

1. Các hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotC

c = b.tanB = b.cotC

2. Giải tam giác vuông

Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông)

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3,8 cm ; góc B bằng 51⁰

Bài 2: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 2,7 cm; AC = 3,5 cm

Bài 3: Giải tam giác ABC, biết AB = 4 cm; góc B bằng 60⁰, góc C bằng 45⁰

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, BC = a; CA = b; AB = c. Chứng minh rằng:

a = b.cos⁡C + c.cosB

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 90⁰. Chứng minh rằng AB² = 4AC.BD

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD (D ∈ BC). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của D trên AB, AC. Chứng minh rằng

DB.DC = EA.EB + FA.FC

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

góc C bằng 39⁰; AC = 4,7 cm; BC = 6 cm

Bài 2:

BC = 4,4 cm

Bài 3:

Vẽ đường cao AH

AH = 2√3 cm; BH = 2cm; CH = 2√3 cm

BC = BH + CH = 2 + 2√3 (cm)

Bài 4:

Vẽ đường cao AH, điểm H nằm giữa B và C (vì tam giác ABC nhọn)

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

BH = AB.cosB = c.cosB

Xét tam giác ACH vuông tại H có:

CH = AC.cosC = b.cosC

⇒ a = BH + CH = c.cosB + b.cosC

Bài 5:

Kẻ OJ ⊥ AB tại O; OK ⊥ CD tại K

⇒ OJ // AC // BD và JC = JD = OJ = CD/2

ΔCJO cân tại J

Lại có:

Xét ΔACO và ΔKCO có:

CO : cạnh chung

⇒ ΔACO = ΔKCO (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AC = CK; KO = AO = ½ AB ( O là trung điểm của AB)

Chứng minh tương tự, ta có: KD = DB

Xét tam giác vuông COD có:

KO² = KC.KD = AC.BD

⇔ 1/4.AB² = AC.BD ⇔ 4AC.BD = AB²

Bài 6:

Xét tam giác ADB vuông tại D có DE là đường cao nên

EA.EB = DE²

Xét tam giác ADC vuông tại D có DF là đường cao nên

FA.FC = DF²

⇒ EA.EB + FA.FC = DE² + DF² = DE² + AE² = AD²

Xét tam giác ABC vuông tại A có AD là đường cao nên

DC.DB = AD²

Do đó: EA.EB + FA.FC = DC.DB

Bài 7. Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5m. Hãy tính góc BCA (làm tròn đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất.

Bài 8. Tia nắng chiếu qua nóc của tòa nhà hợp với mặt đất một góc a. Cho biết tòa nhà cao 21m và bóng của nó trên mặt đất dài 15m. Tính góc a (làm tròn đến phút).

Bài 9. Một cái thang dài 6m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 3m. Tính góc a tạo bởi thang với bức tường.

Bài 10. Một máy bay đang bay ở độ cao 12km. Khi máy bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay 320km, máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?

Bài 11. Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao một cây dừa. Khoảng cách từ gốc cây đến chân người thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người nhắm là 1,6m. Hỏi với các kích thước trên, người thợ đo được chiều cao của cây dừa đó là bao nhiêu? (làm tròn đến mét).

Bài 12. Hải đăng Kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận là ngọn hải đăng được trung tâm sách kỷ luật Việt Nam xác nhận là ngọn hải đăng cao nhất và nhiều tuổi nhất. Hải đăng Kê Gà được xây dựng từ năm 1897 - 1899 và toàn bộ bằng đá. Tháp đèn có hình bát giác, cao 66m so với mực nước biển. Ngọn đèn đặt trong tháp có thể phát sáng xa 22 hải lý (tương đương 40km).

Một người đi thuyền thúng trên biển, muốn đến ngọn hải đăng có độ cao 66m, người đó đứng trên mũi thuyền và dùng giác kế đo được góc giữa thuyền và tia nắng chiều từ đỉnh ngọn hải đăng đến thuyền là 25 độ. Tính khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng (làm tròn đến m).

Bài 13. Tòa nhà Bitexco Financial (hay Tháp Tài chính Bitexco) là một tòa nhà chọc trời được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Tòa nhà có 68 tầng (không tính 3 tầng hầm). Biết rằng, khi tòa nhà có bóng in trên mặt đất dài 47,3 mét, thì cũng thời điểm đó có một cột cờ (được cắm thẳng đứng trên mặt đất) cao 15 mét có bóng in trên mặt đất dài 2,64 mét.

a) Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến độ).

b) Tính chiều cao của tòa nhà (làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 14. Giông bão thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và ngọn cây tạo với mặt đất một góc 30 độ. Người ta đo được khoảng cách từ ngọn cây chạm đất đến gốc tre là 8,5m. Giải sử cây tre mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây tre đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Bài 15. Tính chiều cao của trụ cầu Cần Thơ so với mặt sông Hậu, cho biết tại hai điểm cách nhau 89 mét trên mặt sông người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng lần lượt là 40 độ và 30 độ.