Góc nhị diện là gì? Phân loại, cách xác định và cách tính số đo góc nhị diện

Góc nhị diện là gì? Phân loại, cách xác định và cách tính số đo góc nhị diện

1. Góc nhị diện là gì?

Góc nhị diện là phần không gian được tạo thành bởi hai nửa mặt phẳng cùng chứa một đường thẳng chung. Đường thẳng này được gọi là cạnh của góc nhị diện, còn hai nửa mặt phẳng là hai mặt phẳng tạo thành góc đó. Góc nhị diện không giống như một góc phẳng đơn thuần mà nó tồn tại trong không gian ba chiều, do đó cần có cách nhìn nhận và tính toán phù hợp. Góc này được ký hiệu là [P, d, Q], trong đó P và Q là hai mặt phẳng, còn d là đường thẳng chung (cạnh).

2. Phân loại và đặc điểm của góc nhị diện

Góc nhị diện là "độ mở" giữa hai nửa mặt phẳng cắt nhau.

Phân loại theo số đo

• Góc nhị diện nhọn: Khi số đo nhỏ hơn 90°. (Ví dụ: Cánh cửa mở hé)
• Góc nhị diện vuông: Khi số đo đúng bằng 90°. (Ví dụ: Góc tường phòng)
• Góc nhị diện tù: Khi số đo lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°. (Ví dụ: Màn hình laptop mở gần hết)

Tính chất đặc trưng

Góc nhị diện luôn được xét là góc nhỏ hơn hoặc bằng 180°, giúp việc phân tích và tính toán trở nên đơn giản, rõ ràng hơn. Điều này đồng nghĩa với việc ta không cần quan tâm đến góc lớn hơn, mà chỉ tập trung vào góc nhỏ hơn được tạo thành giữa hai mặt.

3. Cách xác định góc nhị diện

Để xác định đúng góc nhị diện giữa hai mặt phẳng, ta cần thực hiện theo các bước cơ bản như sau:

• Bước 1: Tìm đường thẳng chung d của hai mặt phẳng. Đây chính là cạnh của góc nhị diện.
• Bước 2: Chọn một điểm O nằm trên đường d.
• Bước 3: Từ điểm O, kẻ hai tia Ox và Oy sao cho:
  • Ox nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với d tại O.
  • Oy nằm trong mặt phẳng (Q) và cũng vuông góc với d tại O.
• Bước 4: Góc giữa hai tia Ox và Oy chính là góc phẳng biểu diễn số đo của góc nhị diện.

Cách làm này giúp ta đưa bài toán không gian về bài toán phẳng quen thuộc, từ đó dễ dàng hơn trong việc xử lý và tính toán.

4. Mẹo khi vẽ hình

5. Góc nhị diện và ứng dụng trong bài tập

Góc nhị diện là phần kiến thức quan trọng và thường xuất hiện trong nhiều dạng bài tập hình học không gian, cụ thể như:

• Trong các bài toán về hình chóp tứ giác, học sinh thường phải tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
• Trong hình lập phương, hình hộp chữ nhật, việc xác định góc giữa các mặt cạnh giúp giải bài toán liên quan đến góc nghiêng, góc giữa đường và mặt.
• Trong các bài toán về thể tích, khoảng cách, góc nhị diện cũng đóng vai trò quan trọng giúp xác định vị trí và hướng của các thành phần trong hình.

Việc hiểu rõ khái niệm và thành thạo cách tính toán sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các câu hỏi liên quan đến mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng và không gian ba chiều nói chung.

6. Một số lỗi sai thường gặp khi làm bài về góc nhị diện

Dưới đây là một số lỗi phổ biến mà học sinh thường gặp khi làm bài tập liên quan đến góc nhị diện:

• Nhầm lẫn giữa góc nhị diện và góc giữa hai đường thẳng, dẫn đến việc chọn sai phương pháp giải.
• Lựa chọn sai hai tia vuông góc, khiến góc xOy không còn là góc phẳng nhị diện thực sự.
• Bỏ qua bước vẽ hình chiếu hoặc tam giác phụ, khiến việc tính toán trở nên khó khăn và dễ nhầm.
• Không xác định đúng đường thẳng chung d, dẫn đến toàn bộ quy trình sau đó bị sai.

Để tránh những lỗi này, học sinh nên vẽ hình minh họa rõ ràng, đọc kỹ đề bài và tuân thủ từng bước xác định góc nhị diện một cách cẩn thận.

7. Bài tập về góc nhị diện

Bài 1:

Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a và $\mathrm{SA}=\frac{3\mathrm{a}}{2}$. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm BC ⇒ AI ^ BC (vì ABC là tam giác đều) (1).

Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BC (2).

Từ (1) và (2) ⇒ BC ^ (SAI) ⇒ BC ^ SI.

Khi đó:$\begin{array}{l}\left(SBC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ SI\perp BC\\ AI\perp BC\end{array}\Rightarrow \left.S,BC,A\right]=\widehat{SIA}$ .

Mà DABC đều cạnh a nên $\mathrm{AI}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}$ .

Xét DSAI vuông tại A, ta có: $\text{tan}\widehat{SIA}=\frac{SA}{AI}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SIA}=60°$

Bài 2:

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của BC. Suy ra OI ^ BC.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ^ (ABCD) và $SO=\frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Và SC = SB nên tam giác SBC cân tại S ⇒ SI ^ BC.

Ta có: $SO=\frac{a}{2\sqrt{3}}\Rightarrow \left.S,BC,A\right]=\widehat{SIO}$ .

Ta có: OI là đường trung bình tam giác ABC nên $\Rightarrow \left.S,BC,A\right]=\widehat{SIO}$ .

Xét DSIO vuông tại O, ta có: $\tan \widehat{SIO}=\frac{SO}{OI}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SIO}=30°$ .

Vậy số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.

Bài 3:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{a}\sqrt{6}$, OA = a. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [O, BC, A].

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì DOBC vuông cân tại O ⇒ OI ^ BC (1).

Vì OA ^ OB và OA ^ OC nên OA ^ (OBC) ⇒ OA ^ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (AOI) ⇒ BC ^ AI

Khi đó: $\begin{array}{l}\left(OBC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ BC\perp AI\\ BC\perp OI\end{array}\Rightarrow \left.O,BC,A\right]=\widehat{OIA}$ .

Và $OI=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=a\sqrt{3}$ .

Xét DOAI vuông tại O, ta có: $OI=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=a\sqrt{3}$ .

Vậy [O, BC, A] = 30°.