Dãy số là gì? Dãy số vô hạn? Dãy số hữu hạn?

Dãy số là gì? Dãy số vô hạn? Dãy số hữu hạn?

1. Định nghĩa dãy số

1.1. Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u = u(n).

Ta thường viết u_n thay cho u(n) và kí hiệu dãy số u = u(n) bởi (u_n), do đó dãy số (u_n) được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂, u₃,…., u_n,…

Số u₁ gọi là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu ∀n ∈ ℕ^*, u­_n = c thì (u_n) được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ: Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số sau:

a) Dãy số (u_n) các số tự nhiên chẵn: 2, 4, 6, 8…

b) Dãy số (v_n) các số nguyên dương chia hết cho 3: 3, 6, 9, 12, …

c) Dãy số (q_n) các số chính phương: 1, 4, 9, 16, ….

Hướng dẫn giải

a) Dãy số (u_n) có số hạng đầu u₁ = 2 và số hạng tổng quát u_n = 2n.

b) Dãy số (v_n) có số hạng đầu v₁ = 3 và số hạng tổng quát v_n = 3n.

c) Dãy số (q_n) có số hạng đầu q₁ = 1 và số hạng tổng quát q_n = n².

1.2. Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; ...; m} với m ∈ ℕ^*, được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u₁, u₂, u₃,…., u_m.

Số u₁ gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối.

Ví dụ: Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.

Hướng dẫn giải:

a) Các số hạng của dãy số là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.

b) Số hạng đầu của dãy số này là 2 và số hạng cuối của dãy số là 18.

2. Các cách cho một dãy số

• Một dãy số có thể cho bằng:

- Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng);

- Công thức của số hạng tổng quát;

- Phương pháp mô tả;

- Phương pháp truy hồi.

Ví dụ: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số sau:

a) u_n = 2n + 1.

b) u_n = .

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 3, 5, 7, 9, 11.

Số hạng thứ 100 của dãy số là u₁₀₀ = 2 . 100 + 1 = 201.

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: $-1,\frac{1}{4},-\frac{1}{9},\frac{1}{16},-\frac{1}{25}$.

Số hạng thứ 100 của dãy số là u₁₀₀==$\frac{1}{10000}$.

Ví dụ: Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.

Hướng dẫn giải

Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 3, 5, 7, 11.

Chú ý: Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ trên được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo một vài số nguyên tố đứng trước nó.

• Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hồi:

u₁ = 2, u_n = 6u_{n – 1} + 8 với n ≥ 2.

Viết ba số hạng đầu của dãy số này.

Hướng dẫn giải

Ta có: u₁ = 2, u₂ = 6u₁ + 8 = 6 . 2 + 8 = 20, u₃ = 6u₂ + 8 = 6 . 20 + 8 = 128.

• Chú ý: Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số (u_n) với . Năm số hạng đầu của dãy số này là $u_1=-\frac{1}{2},u_2=\frac{1}{4},u_3=-\frac{1}{8},u_4=\frac{1}{16},u_5=-\frac{1}{32}$ và được biểu diễn trên trục số như sau:

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

3.1. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số (u_n­) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n­) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ^*_.

Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) = 2n + 2.

Hướng dẫn giải

Ta có:

u_{n + 1} – u_n = [2(n + 1) + 2] – (2n + 2) = (2n + 4) – 2n – 2 = 2 > 0, tức là u_{n + 1} > u_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

3.2. Dãy số bị chặn

Dãy số (u_n­) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với ∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n­) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với ∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n­) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m ≤ u_n­ ≤ M với ∀n ∈ ℕ^*.

Ví dụ: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) = $\frac{2n-1}{2n}$.

Hướng dẫn giải

Dãy số (u_n­) bị chặn trên, vì $u_n=\frac{2n-1}{2n}=1-\frac{1}{2n}<1$,∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n­) bị chặn dưới, vì $u_n=\frac{2n-1}{2n}\ge 0$,∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n­) bị chặn.

4. Bài tập Dãy số

Bài 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_n) có số hạng tổng quát cho bởi:

a) u­_n = 4n – 2;

b) u_n = 3 . 2ⁿ + 1.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 6, 10, 14, 18.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u­₁₀₀ = 4.100 – 2 = 398.

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: 7, 13, 25, 49, 97.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u₁₀₀ = 3 . 2¹⁰⁰ + 1.

Bài 2: Dãy số (u_n) cho bởi hệ thức truy hồi: u₁ = 1, u­_n = n . u_n-1 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 1, 2, 6, 24, 120.

b) Ta thấy u₁ =1!, u₂ = 2!, u₃ = 3!, u₄ = 4!, u₅ = 5!.

Vậy công thức số hạng tổng quát là u_n = n!.

Bài 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 3n – 1;

b) u_n = – 3n + 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: u_n+1 – u_n = [3(n + 1) – 1] – (3n – 1) = (3n + 2) – 3n + 1 = 3 > 0, tức là u_n+1 > u_n

Suy ra đây là dãy số tăng.

b) Ta có: u_n+1 – u_n = [–3(n + 1) + 1] – (–3n + 1) = (–3n – 2) + 3n – 1 = – 3 < 0, tức là u_n+1 < u_n.

Suy ra đây là dãy số giảm.

Bài 4: Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = 2n – 1;

b) u_n = $\frac{2n+2}{2n+3}$;

c) u_n = cos n.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n – 1 ≥ 1 với ∀n ∈ ℕ^*

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới.

b) Dãy số (u_n) bị chặn trên, vì $u_n=\frac{2n+2}{2n+3}=\frac{2n+3-1}{2n+3}=1-\frac{1}{2n+3}<1$, ∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n) bị chặn dưới, vì $u_n=\frac{2n+2}{2n+3}\ge 0$, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

c) Ta có: −1 ≤ cos n ≤ 1 ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 2;

b) Khi chia cho 3 dư 1.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n (∀n ∈ ℕ^*).

b) u_n = 3n + 1 (∀n ∈ ℕ^*).

Bài 6: Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 7% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

$A_n$= 50.

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Hướng dẫn giải

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là:

$A_1$= 50 = 50,2917 (triệu đồng).

Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là:

$A_2$= 50 = 50,585 (triệu đồng).

b) 1 năm = 12 tháng

Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là:

$A_{12}$= 50 = 53,6145 (triệu đồng).

Bài 7: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

Lời giải:

1. Ta có:

nên dãy (u_n) là dãy tăng

2. Ta có:

Nên dãy (u_n) giảm.

Bài 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) , biết:

Lời giải:

1. Ta có:

với mọi n ≥ 1.

Suy ra u_(n+1) > u_n ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy tăng.

Mặt khác:

Vậy dãy (u_n) là dãy bị chặn.

2. Ta có:

3. Ta có: u_n > 0 ∀n ≥ 1

⇒ u_(n+1) < u_n ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác: 0 < u_n < 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Bài 9: Cho dãy số (u_n):

a) Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy

b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.

Lời giải:

a) Với a = 4 ta có:

Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là

u₁=6; u₂=10/3; u₃=14/5; u₄=18/7; u₅=22/9.

b) Ta có dãy số u_n tăng khi và chỉ khi

⇒ -a-4 > 0 ⇒ a < -4

Bài 10: Cho dãy số (u_n)

a) Viết 6 số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh u_n=3^(n-1)+1;n=1,2…

Lời giải:

a) Ta có: u₁=2;u₂=4;u₃=10;u₄=28;u₅=82;u₆=244.

b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh bằng cách sau

Ta có: u_n-1=3(u_(n-1)-1)=3² (u_(n-2)-1)=⋯=3^(n-1) (u₁-1)

Suy ra: u_n-1=3^(n-1) ⇒ u_n=1+3^(n-1).