Phương trình parabol? Đặc điểm của đường Parabol

Phương trình parabol? Đặc điểm của đường Parabol

1. Dạng phương trình Parabol?

- Phương trình parabol có dạng tổng quát là một phương trình bậc hai: $y=a{x}^2+bx+c \left(a\ne 0\right)$.

- Khi $b=0$, parabol có dạng $y=a{x}^2+c$, có trục đối xứng là trục tung..

- Khi $c=0$, parabol có dạng $y=a{x}^2+bx$, đi qua gốc tọa độ (0, 0)..

2. Các đặc điểm của Parabol

- Tọa độ đỉnh: Parabol có một đỉnh duy nhất tại điểm $I\left(x_I, y_I\right)$ với $x_I=-\frac{b}{2a}$ và $y_I=-\frac{∆}{4a}$, với $∆=b^2-4ac$.

- Trục đối xứng: Trục đối xứng của parabol là đường thẳng $x=x_I=-\frac{b}{2a}$.

- Hướng bề lõm:

+ Nếu $a>0$, parabol có bề lõm hướng lên trên (có điểm cực tiểu).

+ Nếu $a<0$, parabol có bề lõm hướng xuống dưới (có điểm cực đại).

- Tâm sai: Parabol có tâm sai là một giá trị xác định liên quan đến phương trình của nó, thường được sử dụng trong các bài toán về khoảng cách và điểm.

3. Cách vẽ đồ thị parabol

- Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ trong phương trình $y=a{x}^2+bx+c$.

- Bước 2: Tìm tọa độ đỉnh $I\left(x_I, y_I\right)$ và phương trình trục đối xứng $x=x_I$.

- Bước 3: Tìm các điểm giao với trục tọa độ:

+ Với trục y: Tìm điểm giao khi cho $x=0$, ta có điểm $\left(0; c\right)$

+ Với trục x: Giải phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ để tìm các nghiệm (nếu có), ta có các điểm giao $\left(x_1; 0\right)$và $\left(x_2; 0\right)$.

- Bước 4: Vẽ đồ thị parabol đi qua các điểm trên và có đỉnh tại $I$, với bề lõm hướng lên hoặc xuống tùy thuộc vào dấu của $a.$

4. Các bài toán điển hình

- Tìm giao điểm của parabol và đường thẳng: Giải hệ phương trình gồm phương trình của parabol và phương trình của đường thẳng.

- Bài toán tiếp tuyến của parabol: Sử dụng điều kiện tiếp xúc với đường thẳng, thường là phương trình bậc hai có biệt thức $∆=0$.

- Bài toán cực trị: Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai trên một khoảng.

5. Công thức quan trọng

• $x_I=-\frac{b}{2a}$
• $y_I=-\frac{∆}{4a}$
• $∆=b^2-4ac$
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng có thể được tính bằng tích phân.

6. Các công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ

Cho parabol (P): y = ax² + bx + c, ta có:

- Tọa độ đỉnh I của Parabol là (trong đó Δ = b² - 4ac)

- Tọa độ giao điểm A của Parabol y = ax² + bx + c với trục tung x = 0:

Thay x = 0 vào phương trình Parabol có: y = c => A (0; c)

- Tọa độ giao điểm B của Parabol y = ax² + bx + c với trục hoành y = 0:

Hoành độ của B là nghiệm của phương trình ax² + bx + c (1)

Nếu phương trình (1) vô nghiệm => không tồn tại điểm B

Nếu phương trình (1) có nghiệm kép => Parabol tiếp xúc với trục hoành tại B

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt => Parabol cắt trục hoành tại hai điểm .

7. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho parabol có phương trình y = x² - 3x + 2. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.

Lời giải:

Gọi I là đỉnh của Parabol y = x² - 3x + 2. Ta có:

Vậy đỉnh của parabol là

Bài 2: Cho Parabol có phương trình y = -2x² + 4x - 3. Tìm giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.

Lời giải:

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục tung.

Vì M cũng thuộc trung tung nên ta có M(0;y_M)

Thay x = 0 vào y = -2x² + 4x - 3 ta có: y = -2.0 + 4.0 – 3 = -3

=> M (0; -3)

Gọi N là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Vì N cũng thuộc trục hoành nên ta có: N(x_N;0)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

-2x² + 4x - 3 = 0 (1)

Δ = 4² - 4(-2)(-3) = -8 < 0

=> Phương trình (1) vô nghiệm. => Parabol và trục hoành không có giao điểm.

Bài 3: Tìm giao điểm của các Parabol sau với trục hoành.

a) y = 2x² + 3x - 5

b) y = x² - 2x + 1

Lời giải:

a) y = 2x² + 3x - 5

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

2x² + 3x - 5 = 0 (1)

Δ = (-3)² - 4.2.(-5) = 49 > 0

=> Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy Parabol giao với trục hoành tại hai điểm M₁(1;0) và .

b) y = x² - 2x + 1

Gọi B là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

x² - 2x + 1 = 0 (1)

Δ = (-2)² - 4.1.1 = 0

=> Phương trình (1) có nghiệm kép

=> B(1; 0)

Vậy Parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(1; 0).