Công thức tính xác suất có điều kiện

Công thức tính xác suất có điều kiện

1. Công thức tính xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A | B).

Nếu P(B) > 0 thì $P\left(A|B\right)$ = $\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$.

Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, ta suy ra: Nếu P(B) > 0 thì

$P\left(A\cap B\right)$= $P\left(B\right)$. $P\left(A|B\right)$.

Ngoài ra, ta còn có công thức: Cho hai biến cố A và B với P(B) > 0 thì

$P\left(A|B\right)$ = $\frac{n(A\cap B)}{n\left(B\right)}$.

Chú ý: Người ta chứng minh được tính chất sau chỉ ra mối liên hệ giữa xác suất có điều kiện và biến cố độc lập:

Cho A và B là hai biến cố với 0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi:

$P\left(A\right)$ = $P\left(A|B\right)$ =$P\left(A|\overline{B}\right)$ và $P\left(B\right)$ =$P\left(B|A\right)$ = $P\left(B|\overline{A}\right)$.

Nhận xét: Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

2. Ví dụ minh họa tính xác suất có điều kiện

Ví dụ 1. Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,3; P(B) = 0,7; P(A ∩ B) = 0,15. Tính xác suất $P\left(A|B\right)$; $P\left(B|A\right)$.

Hướng dẫn giải

Ta có: P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,7}}$ = $\frac{3}{14}$;

P(B | A) = $\frac{P(B\cap A)}{P\left(A\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,3}}$ = $\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2. Một câu lạc bộ cờ của phường A gồm 45 thành viên, mỗi thành viên biết chơi ít nhất một trong hai môn cờ vua hoặc cờ tướng. Biết rằng có 35 thành viên biết chơi cờ vua và 20 thành viên biết chơi cờ tướng. Chọn ngẫu nhiên một thành viên của câu lạc bộ. Tính xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng.

Hướng dẫn giải

Xét hai biến cố sau:

A: “Thành viên được chọn biết chơi cờ vua”;

B: “Thành viên được chọn biết chơi cờ tướng”.

Khi đó, xác suất để thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng người đó biết chơi cờ tướng chính là xác suất của A với điều kiện B.

Số thành viên trong câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cờ là: 35 + 20 – 45 = 10 (thành viên).

Do có 10 thành viên biết chơi cả cờ tướng và cờ vua nên P(A ∩ B) = $\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$.

Do có 20 thành viên biết chơi cờ tướng nên P(B) = $\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$. Vì thế, ta có:

$P\left(A|B\right)$ = $\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$ = $\frac{2}{9}:\frac{4}{9}$ = $\frac{1}{2}$ = 0,5.

Vậy xác suất để thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng là 0,5.

3. Bài tập tự luyện tính xác suất có điều kiện

Bài 1. Trong mỗi ý a), b), c), d) dưới đây, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hai xúc xắc cân đối và đồng chất. Gieo lần lượt từng con xúc xắc trong hai con xúc xắc đó.

Xét biến cố:

A: “Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 6”;

B: “Xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm”.

Bài 2. Một hộp có 5 bút bi xanh, 4 bút bi đỏ (các bút bi có kích thước và khối lượng như nhau). Lấy ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy một chiếc bút trong hộp, đánh dấu chiếc bút lấy ra ở lần thứ nhất và bỏ lại vào hộp. Xét biến cố:

A: “Chiếc bút màu xanh được lấy ra lần thứ nhất”;

B: “Chiết bút màu đỏ được lấy ra lần thứ hai”.

a) Tính xác suất $P\left(A\right)$, $P\left(A|B\right)$, $P\left(B\right)$, $P\left(B|A\right)$.

b) Chứng minh A, B là hai biến cố độc lập.

Bài 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) dưới đây, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Một hộp có 12 viên bi trắng và 10 viên bi đỏ (các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau). Có 10 viên bi trong hộp được đánh số, trong đó có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp.

Xét các biến cố:

A: “Lấy được viên bi có màu trắng”;

B: “Viên bi được lấy ra có đánh số”.

Bài 4. Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu các dự án lần lượt là 0,4 và 0,5. Khả năng thắng thầu cả hai dự án là 0,3. Gọi A, B lần lượt là biến cố thắng thầu của dự án 1 và dự án 2.

a) Biết công ty thắng thầu dự án 1, tính xác suất công ty thắng thầu dự án 2.

b) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, tính xác suất công ty thắng thầu dự án 2.

Bài 5. Một sinh viên làm hai bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8, nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai còn 0,2.

a) Tính xác suất để học sinh đó làm đúng ít nhất một bài.

b) Tính xác suất để học sinh đó làm đúng bài 1 biết rằng học sinh làm đúng bài 2.

Bài 6. Một hộp có 6 viên bi đen và 8 viên bi trắng có cùng kích thước và khối lượng. An lấy một viên và không hoàn lại. Sau đó Bình lấy một viên. Gọi A là biến cố “An lấy được viên bi trắng”, B là biến cố “Bình lấy được viên bi trắng”. Tính P(AB). Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Đáp án:

$P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)=\frac{8}{14}.\frac{7}{13}$$=\frac{4}{13}\approx 0,3$.

Trả lời: 0,3.

Bài 7: Một lô hàng cà phê Việt Nam khi xuất khẩu sang Đức phải qua hai lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì lô hàng đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 97% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 96% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tính xác suất để một lô hàng cà phê Việt Nam đủ tiêu chuẩn xuất khẩu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Gọi A là biến cố “Sản phẩm qua lần kiểm tra thứ nhất”;

B là biến cố “Sản phẩm qua lần kiểm tra thứ hai”.

Theo đề ta có $P\left(A\right)=0,97;P\left(B|A\right)=0,96$.

Khi đó $P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)$$=0,97.0,96\approx 0,93$.

Trả lời: 0,93.

4. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với $P\left(A\right)=\mathrm{0,24}$, $P\left(B\right)=\mathrm{0,25}$. Tính $P\left(B|\overline{A}\right)$.

A. 0,25

B. 0,24

C. 0,06

D. 0,49

Đáp án đúng là: A

Ta có: $P\left(B|\overline{A}\right)=P\left(B\right)=\mathrm{0,25.}$

Câu 2. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với $P\left(A\right)=\mathrm{0,6}, P\left(B\right)=\mathrm{0,7,}$ $P\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,3}$. Tính $P\left(A|B\right)$.

A. $\frac{3}{7}.$

B. $\frac{1}{2}.$

C. $\frac{6}{7}.$

D. $\frac{1}{7}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,7}}=\frac{3}{7}.$

Câu 3. Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. An lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa. Xét các biến cố:

A: “Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn”.

B: “Quả bóng lấy ra lần đầu có số lẻ”.

Tính xác suất có điều kiện $P\left(A|B\right).$

A. $\frac{1}{3}.$

B. $\frac{1}{2}.$

C. $\frac{2}{3}.$

D. $\frac{3}{4}.$

Đáp án đúng là: C

Xác suất để quả bóng đầu tiên là số chẵn là: $P\left(A\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

Xác suất để quả bóng đầu tiên có số lẻ là: $P\left(B\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

Khi đã lấy được một quả bóng lẻ (là 1 hoặc 3), chúng ta có 3 quả còn lại trong hộp và trong đó có 2 quả đánh số chẵn.

Do đó, P(A | B) = $\frac{2}{3}.$

Câu 4. Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.

A. 0,4

B. 0,3

C. 0,2

D. 0,1

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài, hộp có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 nên có 10 tấm thẻ mang số chẵn trong hộp.

Biết rằng thẻ rút ra là số chẵn, xác suất để người đó rút ra được thẻ số 10 là $\frac{1}{10}=\mathrm{0,1.}$

Câu 5. Một công ty xây dựng đấu thầu hai dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là 0,6 và dự án 2 là 0,7. Tính xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án.

A. 0,28

B. 0,7

C. 0,46

D. 0,18.

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”,

Gọi B là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.

Theo đề bài, P(A) = 0,6 nên $P\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,4}$; P(B) = 0,7 nên $P\left(\overline{B}\right)=\mathrm{0,3}$ với hai biến cố A, B độc lập.

Gọi C là biến cố “thắng thầu đúng 1 dự án”.

P(C) = $P\left(A\right).P\left(\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)$ = 0,6.0,3 + 0,4.0,7 = 0,46.