Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

• Các bước để khảo sát hàm số phân thức hữu tỉ:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số.

+ Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

+ Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của hàm số.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số.

+ Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm), …

+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Vẽ đồ thị hàm số.

Chú ý:

• Đồ thị của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(c\ne 0,ad-bc\ne 0\right)$ có:

+ Tâm đối xứng là giao điểm I của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, nghĩa là $I\left(\frac{-d}{c};\frac{a}{c}\right)$.

+ Hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận của nó.

• Đồ thị của hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$ (a, m ≠ 0 và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) có tâm đối xứng là giao điểm I của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên, nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận của nó làm trục đối xứng.

2. Ví dụ minh họa về khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$.

Hướng dẫn giải

• Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left(1\right)$.

• Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Ta có: $y\text{'}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}<0\forall x\ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (–$\infty$; 1) và (1; +$\infty$).

+ Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$.

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=+\infty$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=-\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2.

Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận x = 1 và y = 2.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và cắt trục Ox tại điểm $\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(\frac{3}{2};4\right);\left(2;3\right);\left(3;\frac{5}{2}\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I (1; 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-4x+3}{x}$.

Hướng dẫn giải

• Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left(0\right)$.

Ta có: $y=\frac{x^2-4x+3}{x}=x-4+\frac{3}{x}$.

• Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Ta có: $y\text{'}=1-\frac{3}{x^2}=\frac{x^2-3}{x^2}$, $y\text{'}=0\iff x=\pm \sqrt{3}$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (–$\infty$; –$\sqrt{3}$) và ($\sqrt{3}$; +$\infty$), nghịch biến trên khoảng (–$\sqrt{3}$; 0) và (0; $\sqrt{3}$).

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = –$\sqrt{3}$; y_CĐ = –4 – 2$\sqrt{3}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = $\sqrt{3}$; y_CT = –4 + 2$\sqrt{3}$.

+ Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-4\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x-4\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{x}=0$

Suy ra, y = x – 4 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x}=+\infty ;$ $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x}=-\infty$

Suy ra, x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x}=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x}=-\infty$

Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

Ta có: y = 0 $\iff \frac{x^2-4x+3}{x}=0$ $\iff$ x = 1 hoặc x = 3. Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (1; 0) và (3; 0).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(0; –4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y=\frac{\left(m+1\right)x-2}{m+2-x}$ (m là tham số). Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải $y=\frac{\left(m+1\right)x-2}{m+2-x}$

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi hàm số nghịch biến và có tiệm cận đứng không ở bên trái trục Oy, tiệm cận ngang không ở bên dưới trục Ox, nghĩa là:

$\left\{\begin{array}{l}\left(m+1\right)\left(m+2\right)-\left(-2\right).\left(-1\right)<0\\ -1\ne 0\\ \frac{m+1}{-1}\ge 0\\ \frac{m+2}{1}\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3<m<0\\ m\le -1\\ m\ge -2\end{array}\right.\iff -2\le m\le -1$

Vậy –2 ≤ m ≤ –1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài tập về khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

Bài 1. Đường cong như hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

a) $y=\frac{2x+3}{2x+1}$.

b) $y=\frac{x-4}{x+1}$.

c) $y=1-\frac{2}{2x+1}$.

d) $y=2+\frac{1}{x-5}$.

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

a) $y=x+1+\frac{1}{2x-2}$.

b) $y=\frac{-x^2+4x+5}{x+1}$.

Bài 4. Ở một bể nước có chứa 2 000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 40 gam/ lít vào bể nước với tốc độ là 25 lít/ phút.

a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C\left(t\right)=\frac{40t}{80+t}$ (gam/ lít).

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = C(t).

Bài 5. Cho hàm số $y=\frac{x^2+4x-2m}{x+1}$ (m là tham số).

a) Với $m=\frac{5}{2}$, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Bài 6. Ở một vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ $Oxy$ với đơn vị đo tương ứng 1km có hòn đảo ở O thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+1}{x}$. Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Bài 7. Giả sử tỷ lệ sinh của tỉnh A tuân theo quy luật Logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left(t\right)=\frac{200}{1+4e^{-t}}; t\ge 0; t\in \mathrm{\mathbb{N}}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng tháng. Khi đó đạo hàm $f\text{'}\left(t\right)$ sẽ biểu thị tốc độ tăng dần dân số của tỉnh A. Hỏi sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh A là lớn nhất?