Cát tuyến là gì? Tính chất?
Với tài liệu về Cát tuyến bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.
Cát tuyến
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Là một đường thẳng cắt các với các đường khác như là đường thẳng, đường tròn, đường cong, đường cao, đường trung tuyến…
2. Tính chất
Cho một đường tròn tâm O với hai đường thẳng AB, CD. Ta có:
- Nếu 2 đường thẳng chứa các dây AB, CD của một đường tròn tại một điểm M thì MA x MB = MC x MD.
- Đảo lại nếu 2 đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M và MA x MB = MC x MD thì bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
- Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì MC^2 = MA x MB = MO^2 – R^2.
- Từ 1 điểm K nằm bên ngoài đường tròn ta lần lượt kẻ các tiếp tuyến KA, KB, cát tuyến KCD. H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, A, H, O, B cùng nằm trên 1 trung điểm.
- Vẫn từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KA với cát tuyến KCD thì AC/AD = BC/BD. Ta cũng có: Góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.
3. Cách vẽ
– Bước 1: Xác định chính xác 2 điểm bất kỳ phân biệt nằm trên đường tròn hoặc đường đường cong đó.
– Bước 2: Dùng bút để kẻ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt đã đề cập trước đó. Như thế là chúng ta đã có ngay được 1 cát tuyến đường tròn và đường cong rồi.
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Từ một điểm K nằm bên ngoài đường tròn, ta kẻ các tiếp tuyến lần lượt là KA, KB và kẻ thêm cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Gọi M chính là giao điểm của OK và AB. Vẽ dây DI đi qua M. Hãy chứng minh rằng:
a) KIOD là một hình tứ giác nội tiếp.
b) KO chính là phân giác của góc IKD.
Ta có hình vẽ:
Hướng dẫn giải
Ví dụ 2: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.
a, Chứng minh rằng ta luôn có MI² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB
b, Khi cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường tròn?
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
a) CM: MA.MA = MC.MD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng CHOD nội tiếp và AB là đường phân giác của góc CHD.
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh: A, B, K thẳng hàng
Lời giải:
a) Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)
→ góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g)
→ MA/MD = MC/MA (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) → MA2 = MC.MD (đpcm)
b) Có I là trung điểm của CD (giả thiết)
→ Góc MIO = 900 = góc MAO = MBO
→ 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
c) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H
→ MH. MO = MA2 = MC. MD
→ MA/MD = MC/MA → △ MHC ~ △ MDC
→ góc MHC = góc MDO
→ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn
→ Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC
→ 900 - góc MHC = 900 - góc OHD → góc CHB = góc BHD
→ HB là phân giác của góc CHD.
d) Có KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)
→ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn) mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng thuộc một đường tròn)
→ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn
→ HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD) → 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
Bài 2: Cho 2 đường thẳng song song a, b và một đường cát tuyến c. Hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại điểm I. Chứng minh điểm I cách đều 3 đường thẳng a, b và c.
Giải
Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c.
Xét hai góc trong cùng phía CEA và CFB ta có:
Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên IA = IC (1)
Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên IC = IB (2)
Từ (1) và (2) => IA = IB = IC
=> I cách đều đường thẳng a, b và c.
Bài 3: Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn tâm O, hãy kẻ các tiếp tuyến KA, KB và kẻ thêm đường cát tuyến KCD đến đường tròn. Lấy M là giao điểm AB và OK. Vẽ đoạn DI đi qua M. Chứng minh:
a) KIOD là tứ giác nội tiếp.
b) KO là đường phân giác góc IKD.
Giải
a)
Ta có tứ giác AIBD nội tiếp đường tròn (O) và AB ⋂ ID = M
=> MA.MB = MI.MD (1)
Mặt khác ta có góc KAO = góc KBO = 900 => OBKA là tứ giác nội tiếp
=> MA.MB = MO.MK (2)
Từ (1) và (2) => MI.MD = MO.MK
=> KIOD là một tứ giác nội tiếp
b)
Vì KIOD là tứ giác nội tiếp
Nên góc DKO = góc DIO
góc OKI = góc ODI
Mà ΔDOI cân tại O nên góc DIO = góc DOI
=> góc DKO = góc OKI
Do đó KO là phân giác góc IKD
Bài 4: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến ADE. H là giao điểm AO và BC. Chứng minh H là trung điểm BC.
Giải
Xét tứ giác OBAC ta có góc B = góc C = 900 (tính chất tiếp tuyến)
=> góc B + góc C = 1800
Mà hai góc này đối nhau => OBAC nội tiếp đường tròn
Ta có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau)
OB = OC = R
=> O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)
Ta có AB = AC (cmt)
=> A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (2)
Từ (1) và (2) => OA là đường trung trực của đoạn BC
hay OA 丄 BC
Ta có ΔOBC cân tại O (OB = OC = R)
Mà OH là đường cao ΔOBC
Nên H là trung điểm BC
Bài 5: Từ điểm K ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và một cát tuyến KCD. Lấy H làm trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua điểm H. Chứng minh BF//CD.
Bài 6. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của CD. Đường thẳng qua H // BD và cắt AB tại T. Chứng minh CI vuông góc với OB.
Bài 7. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Vẽ đường kính AI. Các dây IC, ID cắt đoạn thẳng KO theo thứ tự tại G, N. Chứng minh OG=ON.
Bài 8. Từ điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn tâm (O), kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB của đường tròn (O).
Chứng minh rằng MI² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB
Khi cho đoạn thẳng MT = 20cm và MB = 50cm, tính bán kính đường tròn?
Bài 9: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh rằng góc ADC = góc MDB.
Xem thêm các chương trình khác:
- Các dạng bài tập Tiếng Anh thông dụng nhất
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Tiếng Anh có đáp án
- Toàn bộ kiến thức về cụm động từ | Định nghĩa và cách dùng
- 500 đoạn văn Tiếng Anh thông dụng nhất và cách làm
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Công nghệ có đáp án
- 1000 câu hỏi ôn tập Giáo dục công dân
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Vật lí có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Vật lí
- Phương trình hóa học | Tổng hợp PTHH của các chất hữu cơ, vô cơ chính xác nhất
- Đồng phân & Công thức cấu tạo của các chất hữu cơ
- Nhận biết các chất Hóa học
- Cấu hình electron
- So sánh bán kính nguyên tử và bán kính ion
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Hóa có đáp án
- Wiki các chất hóa học | Định nghĩa, tính chất, nhận biết, điều chế, ứng dụng
- Cách đọc danh pháp hóa học (chương trình mới) đầy đủ nhất
- Công thức Lewis của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức electron của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức cấu tạo của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức hợp chất khí với hidro của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hợp chất khí với hidro
- Công thức hidroxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hidroxit cao nhất
- Công thức oxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức oxit cao nhất
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Tin học có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Lịch sử có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Địa lí có đáp án
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Sinh học có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Sinh học
- Tổng hợp về các tác giả văn học
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Ngữ văn có đáp án
- Tổng hợp kiến thức Ngữ Văn
- Trò chơi Powerpoint | Game Powerpoint
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên mầm non (2024) theo Thông tư 12
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên tiểu học (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THCS (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THPT (2024)