Cát tuyến là gì? Đặc điểm, tính chất của cát tuyến. Cách xác định cát tuyến của đường tròn

Cát tuyến là gì? Đặc điểm, tính chất của cát tuyến. Cách xác định cát tuyến của đường tròn

I. Cát tuyến là gì?

Cát tuyến là một từ Hán Việt với “cát” có nghĩa là cắt, “tuyến” là đường thẳng, cát tuyến là đường thẳng cắt ngang qua một bề mặt khác như đường cong, đường tròn,… Định nghĩa cát tuyến của đường tròn được nêu trong sách giáo khoa hình học lớp 9 như sau:

Cát tuyến của đường tròn chính là đường thẳng cắt đường tròn đó tại 2 điểm phân biệt. Tức là giao điểm giữa đường cát tuyến và đường tròn là hai điểm thuộc đường tròn đó. Trường hợp đặc biệt của cát tuyến chính là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn. Khi ấy cát tuyến của đường tròn sẽ trùng với đường kính đường tròn đó.

Một số ví dụ về đường cát tuyến:

Vd1: Cát tuyến của hai đường thẳng là một đường thẳng cắt hai đường thẳng đó.

Vd2: Cát tuyến của đường tròn cắt đường tròn tại hai điểm bất kì thuộc đường tròn đó.

Vd3: cát tuyến của một cung tròn cắt cung tròn tại hai điểm phân biệt

II. Cách vẽ cát tuyến của đường tròn

Cách vẽ đường cát tuyến của đường tròn và đường cong là yêu cầu cơ bản trong bài toán liên quan đến đường cát tuyến. Sau đây chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách vẽ cát tuyến chỉ với 2 bước đơn giản là:

- Bước 1: Xác định hai điểm bất kì thuộc đường tròn hoặc cung tròn. Lưu ý đối với đường tròn, nếu không có yêu cầu đặc biệt thì bạn không nên chọn hai điểm nằm trên đường kính của đường tròn đó.

- Bước 2: Vẽ một đường thẳng bằng cách nối hai điểm vừa xác định. Đường thẳng này chính là đường cát tuyến, nó cắt và chia đường tròn thành hai cung.

Ngoài ra, bạn cũng có thể dùng các tính chất của cát tuyến để xác định cát tuyến của đường tròn. Một số tính chất quan trọng là: Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tích các đoạn của mỗi dây bằng nhau. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến và một đường thẳng là cát tuyến của một đường tròn thì bình phương của tiếp tuyến bằng tích hai đoạn của cát tuyến. Nếu từ một điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì tỉ số các đoạn của cát tuyến bằng tỷ số các tiếp tuyến.

III. Tính chất, đặc điểm của cát tuyến

Đường cát tuyến là đường thẳng cắt một đường khác (đường thẳng, đường tròn, đường cong,…) tại hai điểm phân biệt. Đường cát tuyến có một số tính chất sau:

• Nếu hai đường thẳng chứa các dây của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tích các đoạn của mỗi dây bằng nhau.

• Nếu hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và tích các đoạn của mỗi đường bằng nhau thì bốn điểm thuộc cùng một đường tròn.

• Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến và một đường thẳng là cát tuyến của một đường tròn thì bình phương của tiếp tuyến bằng tích hai đoạn của cát tuyến.

• Nếu từ một điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì trung điểm của cát tuyến thuộc trung trực của hai tiếp điểm.

• Nếu từ một điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến và một cát tuyến thì tỉ số các đoạn của cát tuyến bằng tỉ số các tiếp tuyến

Cho một đường tròn tâm O với hai đường thẳng AB, CD. Ta có:

• Nếu 2 đường thẳng chứa các dây AB, CD của một đường tròn tại một điểm M thì MA x MB = MC x MD.

• Đảo lại nếu 2 đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M và MA x MB = MC x MD thì bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

• Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì MC² = MA x MB = MO² – R².

• Từ 1 điểm K nằm bên ngoài đường tròn ta lần lượt kẻ các tiếp tuyến KA, KB, cát tuyến KCD. H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, A, H, O, B cùng nằm trên 1 trung điểm.

• Vẫn từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KA với cát tuyến KCD thì $\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}$. Ta cũng có: $\widehat{KAC}=\widehat{ADK}$ $\Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{KC}{KA}$

IV. Ứng dụng cát tuyến của hình tròn

Đường cát tuyến hình tròn có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ, tam giác đồng dạng, đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Một số ví dụ về ứng dụng đường cát tuyến hình tròn là:

- Tính chiều cao của một ngọn núi khi biết góc nhìn từ hai điểm cách nhau một khoảng xác định.

- Tính bán kính của một đường tròn khi biết hai cát tuyến của nó và khoảng cách giữa hai điểm giao của chúng với đường tròn.

- Tính diện tích của một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn khi biết các cạnh của nó và các góc tạo bởi các cát tuyến của chúng.

- Tính chiều dài của một cung tròn khi biết hai tiếp tuyến và một cát tuyến của nó

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

a) CM: MA.MA = MC.MD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng CHOD nội tiếp và AB là đường phân giác của góc CHD.

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh: A, B, K thẳng hàng

Lời giải:

a) Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)

→ góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g)

→ MA/MD = MC/MA (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) → MA2 = MC.MD (đpcm)

b) Có I là trung điểm của CD (giả thiết)

→ Góc MIO = 900 = góc MAO = MBO

→ 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

c) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H

→ MH. MO = MA2 = MC. MD

→ MA/MD = MC/MA → △ MHC ~ △ MDC

→ góc MHC = góc MDO

→ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn

→ Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC

→ 900 - góc MHC = 900 - góc OHD → góc CHB = góc BHD

→ HB là phân giác của góc CHD.

d) Có KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)

→ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn) mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng thuộc một đường tròn)

→ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

→ HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD) → 3 điểm A, B, K thẳng hàng.

Bài 2: Cho 2 đường thẳng song song a, b và một đường cát tuyến c. Hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại điểm I. Chứng minh điểm I cách đều 3 đường thẳng a, b và c.

Giải

Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c.

Xét hai góc trong cùng phía CEA và CFB ta có:

Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên IA = IC (1)

Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên IC = IB (2)

Từ (1) và (2) => IA = IB = IC

=> I cách đều đường thẳng a, b và c.

Bài 3: Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn tâm O, hãy kẻ các tiếp tuyến KA, KB và kẻ thêm đường cát tuyến KCD đến đường tròn. Lấy M là giao điểm AB và OK. Vẽ đoạn DI đi qua M. Chứng minh:

a) KIOD là tứ giác nội tiếp.

b) KO là đường phân giác góc IKD.

Giải

a)

Ta có tứ giác AIBD nội tiếp đường tròn (O) và AB ⋂ ID = M

=> MA.MB = MI.MD (1)

Mặt khác ta có góc KAO = góc KBO = 900 => OBKA là tứ giác nội tiếp

=> MA.MB = MO.MK (2)

Từ (1) và (2) => MI.MD = MO.MK

=> KIOD là một tứ giác nội tiếp

b)

Vì KIOD là tứ giác nội tiếp

Nên góc DKO = góc DIO

góc OKI = góc ODI

Mà ΔDOI cân tại O nên góc DIO = góc DOI

=> góc DKO = góc OKI

Do đó KO là phân giác góc IKD

Bài 4: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến ADE. H là giao điểm AO và BC. Chứng minh H là trung điểm BC.

Giải

Xét tứ giác OBAC ta có góc B = góc C = 900 (tính chất tiếp tuyến)

=> góc B + góc C = 1800

Mà hai góc này đối nhau => OBAC nội tiếp đường tròn

Ta có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau)

OB = OC = R

=> O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)

Ta có AB = AC (cmt)

=> A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (2)

Từ (1) và (2) => OA là đường trung trực của đoạn BC

hay OA 丄 BC

Ta có ΔOBC cân tại O (OB = OC = R)

Mà OH là đường cao ΔOBC

Nên H là trung điểm BC

Bài 5: Từ điểm K ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và một cát tuyến KCD. Lấy H làm trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua điểm H. Chứng minh BF//CD.

Bài 6. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của CD. Đường thẳng qua H // BD và cắt AB tại T. Chứng minh CI vuông góc với OB.

Bài 7. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Vẽ đường kính AI. Các dây IC, ID cắt đoạn thẳng KO theo thứ tự tại G, N. Chứng minh OG=ON.

Bài 8. Từ điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn tâm (O), kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB của đường tròn (O).

Chứng minh rằng MI² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB

Khi cho đoạn thẳng MT = 20cm và MB = 50cm, tính bán kính đường tròn?

Bài 9: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh rằng góc ADC = góc MDB.