Nội dung bài viết

    Xem thêm

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án

    Với tài liệu về 50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 722 21/08/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng

    I. Định lý cơ bản của Vi tích phân

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    * Định lý (Định lý cơ bản của Vi tích phân):

    Cho f : [a;b] →ℝ là hàm liên tục. Khi đó: 

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    * Nhận xét:

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    • Đẳng thức (*) không phụ thuộc vào nguyên hàm được chọn. Thật vậy, giả sử H là một nguyên hàm khác của f trên [a;b]; khi đó, theo định lý giá trung bình, ta nhận được H = F + C trên [a;b] với C là một hàm hằng số thực (có thể xem như hàm hằng), và:

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    II. Một số hệ quả Định lý cơ bản của Vi tích phân

    Hệ quả 1: Mọi hàm liên tục trên một đoạn thì có nguyên hàm trên đoạn đó.

    Bài tập: Tính f'(0) với f(x) = ∫0xet2dt.

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    Hệ quả 2: Nếu f có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì f(x) = f(a) + ∫axf'(t)dt với mọi x ∈[a;b]

    Hệ quả 3: Cho hàm số u khả vi trên khoảng I và hàm số f liên tục trên khoảng K chứa {a} 

    Khi đó ddx∫au(x)f(t)dt=f(u(x))u'(x) với mọi x ∈I

    Chứng minh: 

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    Hệ quả 4: Cho hàm f : [a;b] →ℝ thỏa f(x) ≥0 với mọi x∈[a;b] và ∫abf(t)dt=0. Khi đó f(x) = 0 với mọi x∈[a;b].

    Chứng minh:

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    Hệ quả 5: Cho hàm f : [a;b] →ℝ liên tục và thỏa f(x) > 0 với mọi x∈[a;b]. Khi đó ∫abf(x)dx>0

    Hệ quả 6: (Định lý giá trị trung bình cho tích phân) Cho hàm f liên tục trên [a;b]. Khi đó có số thực x∈(a;b) sao cho

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)Chứng minh:

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    III. Một số ứng dụng của Định lý cơ bản của Vi tích phân

    Bài toán 1: Cho hàm số f xác định và liên tục trên ℝ. Tìm giới hạn limx→01x∫ox2-xf(t)dt.

    Lời giải

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    Bài toán 2: Cho f : [0;1] →[0;1] là hàm liên tục trên [0;1] . Chứng minh rằng phương trình 2x - ∫0xf(t)dt=1 có duy nhất nghiệm trên [0;1]

    Lời giải

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    Bài toán 3: Tìm tất cả các hàm số thực f xác định và liên tục trên ℝ thỏa 2x - ∫0xf(t)dt=1 với mọi x∈ℝ

    Lời giải

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    Bài toán 4: Cho hàm số liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện 

    ∫x1f(t)dt≥1-x22,∀x∈[0;1] . Hãy chứng minh ∫01[(f(x)]2dx≥∫01xf(x)dx

    Lời giải

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    IV. Bài tập vận dụng

    Bài 1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện:

    ∫x1f(t)dt≥1-x22, ∀x∈[0;1]. Hãy chứng minh ∫01[f(x)]2dx≥∫01xf(x)dx

    Lời giải:

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    Bài 2: Cho hàm số liên tục f: [0;1] →[0;+∞] thỏa mãn điều kiện [f(x)]2 ≤ 1 + 2∫0xf(t)dt với mọi x∈ [0;1]. Chứng minh rằng: ∫0xf(t)dt≤x+x22,∀x∈[0;1]

    Lời giải:

    50 bài tập về định lí vi tích phân và ứng dụng (2023) có đáp án (ảnh 1)

    x ∈ [0;1]. Điều này tương đương 1+2F(x)-1≤x với mọi x∈ [0;1]. Chính vì thế, ta nhận được ∫0xf(t)dt≤x+x22,∀x∈[0;1]

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 722 21/08/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: