Thiết diện là gì? Công thức tính diện tích thiết diện trong các hình học không gian

Thiết diện là gì? Công thức tính diện tích thiết diện trong các hình học không gian

I. Thiết diện là gì?

1. Định nghĩa

Thiết diện là phần mặt cắt của một vật thể khi một mặt phẳng cắt qua vật thể đó. Khi một mặt phẳng cắt một hình không gian, thiết diện tạo ra có thể là các hình học khác nhau tùy thuộc vào hình dạng của vật thể và mặt phẳng cắt.

2. Cách xác định thiết diện trong không gian

1. Xác định mặt phẳng cắt: Bước đầu tiên trong việc xác định thiết diện là lựa chọn mặt phẳng cắt. Mặt phẳng này có thể được định nghĩa bằng một phương trình hoặc bởi vị trí tương đối với hình không gian.

2. Xác định hình không gian: Hình không gian có thể là hình cầu, hình trụ, hình chóp, hoặc bất kỳ hình khối nào khác.

3. Tính toán thiết diện: Dùng các công thức hình học để tính toán hình dạng và kích thước của thiết diện tùy theo mặt phẳng cắt và hình không gian được chọn.

Ví dụ, khi một mặt phẳng cắt một hình trụ với trục dọc theo trục của hình trụ, thiết diện tạo thành là một hình chữ nhật; nếu cắt vuông góc với trục, thiết diện là một hình tròn.

3. Ứng dụng của thiết diện

• Thiết diện giúp xác định tính chất hình học và cấu trúc bên trong của vật thể một cách chính xác.

• Trong giáo dục, nó là công cụ hữu ích giúp sinh viên và học sinh hiểu sâu về cách mặt phẳng và không gian ba chiều tương tác với nhau.

• Ứng dụng thực tế bao gồm việc tính toán khối lượng và trọng lượng cần thiết cho các mục đích xây dựng.

II. Công thức tính diện tích thiết diện cho các hình khác nhau

Diện tích thiết diện là phần mặt cắt của một vật thể được tạo ra bởi một mặt phẳng cắt qua vật thể đó. Việc tính diện tích thiết diện phụ thuộc vào hình dạng của vật thể và cách thức mặt phẳng cắt qua vật thể.

1. Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ

Khi một mặt phẳng cắt ngang hình trụ, thiết diện tạo thành là hình chữ nhật hoặc hình elip, tùy thuộc vào góc cắt.

• Công thức cho mặt phẳng cắt vuông góc với trục: S = π.r²

• Công thức cho mặt phẳng cắt nghiêng: S = π.r.l với l là chiều dài dây cung cắt bởi mặt phẳng.

2. Công thức tính diện tích thiết diện của hình nón

Thiết diện tạo thành có thể là tam giác hoặc hình chữ nhật, tùy thuộc vào góc cắt và mặt phẳng qua đỉnh.

• Công thức cho mặt phẳng qua đỉnh, cắt vuông góc với trục: S = $\frac{1}{2}$π.r. l

3. Công thức tính diện tích thiết diện của hình cầu

Thiết diện luôn tạo thành hình tròn khi cắt bởi bất kỳ mặt phẳng nào.

• Công thức: S = π.r²

Bảng công thức diện tích thiết diện của một số hình cơ bản

III. Cách tính diện tích thiết diện

Để tính diện tích thiết diện là làm theo các bước sau:

1. Xác định hình không gian và mặt phẳng cắt: Đầu tiên, xác định hình không gian bạn đang làm việc (ví dụ: hình trụ, hình nón, hình cầu) và mặt phẳng sẽ được sử dụng để cắt qua hình đó.

2. Phân tích hình dạng thiết diện: Dựa trên mặt phẳng cắt và hình không gian, xác định hình dạng của thiết diện (ví dụ: hình tròn, hình elip, tam giác).

3. Sử dụng công thức tính diện tích phù hợp: Áp dụng công thức tính diện tích phù hợp với hình dạng thiết diện đã xác định.

4. Thực hiện tính toán: Sau khi đã có công thức, tiến hành tính toán để tìm ra diện tích thiết diện.

5. Kiểm tra kết quả: Sau cùng, kiểm tra lại các bước và kết quả để đảm bảo tính chính xác.

IV. Bài tập tính diện tích thiết diện

Bài 1: Một hình trụ có chiều cao 10 cm và bán kính đáy 5 cm. Tính diện tích thiết diện tạo bởi một mặt phẳng cắt hình trụ vuông góc với trục của nó.

Lời giải: Thiết diện là một hình tròn có bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ, tức 5 cm. Sử dụng công thức diện tích hình tròn:

S = π.r² = π.5² = 25π cm².

Bài 2: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và đường sinh là 5. Mặt phẳng (P) qua đỉnh và tạo với trục một góc ${30}^{\circ }$. Tính diện tích thiết diện

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB

Ta có góc giữa (SAB) và trục là $\widehat{ISH}={30}^{\circ }$

Chiều cao hình nón là :

$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

$\Rightarrow IH=IH.\tan {30}^{\circ }=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

$SH=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Ta có :

$$\begin{gathered} AH=\sqrt{I{A}^2-I{H}^2}=\frac{\sqrt{33}}{3} \\ \Rightarrow S_{\Delta SAB}=SH.AH=\frac{8\sqrt{11}}{3} \end{gathered}$$

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK)

Hướng dẫn giải

Do I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. => IJ // AB

Vậy (IJK) là mặt phảng chứa một đường thảng song song với một đường thẳng cho trước (AB).

Chọn mặt phẳng (ABC) chứa AB

ta có: K thuộc BD

BD nằm trong (ABD)

=> K thuộc (ABD), suy ra K là điểm chung của hai mặt phẳng (IJK) và (ABD)

Ta có: AB là tập con của (ABD)

IJ là tập con của (IJK)

AB // IJ

K thuộc (ABD) giao với (IJK)

=> (ABD) giao với (IJK) = Kx (Kx // AB // IJ)

Giả sử Kx cắt AD tại H, khi đó:

(ABD) giao với (IJK) = KH

(CAD) giao với (IJK) = IH

(CDB) giao với (IJK) = JK

(CAB) giao với (IJK) = IJ

Vậy thiết diện cần tìm là hình thang IJKH