Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức thể tích khối cầu

Thể tích khối cầu

1. Công thức tính thể tích khối cầu

- Khối cầu bán kính r có thể tích là

- Chú ý: Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

2. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Tính thể tích của khối cầu có bán kính bằng 5

Lời giải:

Thể tích khối cầu đã cho là V=

Ví dụ 2. Cho mặt cầu có diện tích là 96πa². Tính thể tích của khối cầu đó.

Lời giải:

Diện tích mặt cầu là S= 4πr²= 96πa² => r =

Suy ra thể tích khối cầu là: V =

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu. Biết và 3 cạnh SA=a , SB=2a , SC=a đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

Lời giải:

Ta có: SA⊥(SAB)

Do SBC là tam giác vuông nên trung điểm M của BC là tâm đường tròn ngoại tiếp

Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với (SBC) => // SA

Kẻ đường trung trực d của SA. d qua trung điểm N của SA và cắt tại O

Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Tứ giác SNOM có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

=> r= SO =

Ta có BC=

=>

Diện tích mặt cầu là S= = 14πa²

Thể tích mặt cầu là

Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc 60° . Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp đó.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm BC.

Gọi H là chân đường cao của hình chóp khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC => HM =

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp S.ABC => I ∈ SH

Ta có:

=> ((SBC),(ABC)) = ∠SMH = 60°=> SH= MS.tan60° =

Do I là tâm mặt cầu nội tiếp nên

r= d(I(ABC)) = d(I,(SBC)) <=> IH=IK => MI là phân giác ∠SMH

Theo tính chất phân giác ta có:

Do đó: => r= IH=

Vậy thể tích khối cầu là

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tính diện tích thiết diện hình nón

• Công thức tính diện tích hình nón cụt