Cách tìm tập nghiệm của phương trình logarit và bài tập (2024) có đáp án

Cách tìm tập nghiệm của phương trình logarit và bài tập

I. Lý thuyết

Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng sau:

loga x = b, (Trong đó điều kiện được cho: 0 < a ≠ 1).

II. Các phương pháp tìm tập nghiệm của phương trình logarit

Phương pháp giải cơ bản

Xét lại phương trình logarit: log_ax = b (*)

Theo như bài hàm số logarit, tập giá trị của hàm số y = log_ax là ℝ. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất là:

x = a^b.

Ở phương pháp cơ bản này, bạn cần chú ý một số công thức như sau để có thể giải toán nhanh hơn:

+) ln x = b ⇒ x = e^b

+) log x = b ⇒ x = 10^b

+) logaf(x) = b ⇔ f(x) = a^b

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Biến đối phương trình đã cho về dạng:

Một lưu ý quan trọng trong phương pháp này. Khi gặp phương trình có từ 2 biểu thức logarit trở lên thì chúng ta cần đặt điều kiện để tồn tại các biểu thức chứa logarit trước khi giải. Nếu không đặt điều kiện sẽ sai bản chất hoặc thừa nghiệm và mất điểm đáng tiếc.

Phương pháp đặt ẩn phụ

Ở các bài toán thường gặp, phép đặt phổ biến nhất là: t = log_a x, Điều kiện t ∈ ℝ. Điều kiện này dựa vào tập giá trị của hàm số logarit.

Chú ý:

Để xác định miền của t. Nếu đặt t = log_a x và x ∈ (m; n) thì:

+) t ∈ (log_a m; log_a n) khi a > 1

+) t ∈ (log_a n; log_a m) khi 0 < a < 1

Với 0 < x ≠ 1 ta có: ${\log }_a\left(x\right)=\frac{1}{{\log }_x\left(a\right)}$. Do đó, nếu đặt t = log_a x thì ${\log }_x\left(a\right)= \frac{1}{t}$

Phương pháp mũ hoá

Ta có: ${\log }_{a}f\left(x\right)= g\left(x\right) \iff \left\{\begin{array}{l}0<a\ne 1\\ f\left(x\right)=a^{g\left(x\right)}\end{array}\right.$

Trường hợp phương trình logarit không thể xử lý được. Phương pháp cuối cùng là mũ hóa (có kèm theo điều kiện), sau đó vận dụng các kiến thức từ phương trình mũ để giải bài toán.

Giải bằng phương pháp hàm số

Ngoài 4 phương pháp trên ở mỗi loại phương trình, nếu vẫn chưa tìm được hướng giải thì phương pháp hàm số được coi là giải pháp cuối cùng. Phương pháp này có vận dụng một số tính chất như sau:

– Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(x) = k trên (a; b) có tối đa 1 nghiệm hoặc f(u) = f(v) ⇔ u = v, ∀ u, v ∈ (a; b)

– Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D phương trình f(x) = g(x) có tối đa 1 nghiệm.

– Tính chất 3. Xét phương trình f(x) = 0 (4)

Nếu hàm số f có đạo hàm cấp 1 là f’(x) và đạo hàm cấp 2 là f’’(x) mà f’’(x) > 0, ∀ x ∈ K hoặc f’’(x) < 0, ∀ x ∈ K thì phương trình f’(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm. Từ đó suy ra phương trình (4) có tối đa 2 nghiệm.

Lưu ý: Khi gặp bài toán trên ta có thề xử lí đến khi đạo hàm cấp n mang dấu dương hoặc dấu âm

→ f’’(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm → f’(x) = 0 có tối đa 2 nghiệm → phương trình (4) có tối đa 3 nghiệm.

III. Các dạng bài

Dạng 1.af(x) = g(x) hoặc log_af(x) = g(x)

Những phương trình sẽ rất dễ nhẩm nghiệm, ta thực hiện theo 3 bước sau:

– Đoán (nhẩm) nghiệm

– Xét tính đơn điệu của 2 hàm số ở 2 vế của phương trình.

– Kết luận nghiệm (thường sẽ có 1 đến 2 nghiệm).

Dạng 2. af(x) + bf(x) = cf(x)

– Chia cả 2 vế cho cf(x)

– Đoán (nhẩm) nghiệm.

– Xét tính đơn điệu của 2 hàm số ở 2 vế của phương trình.

– Kết luận nghiệm.

Dạng 3. af(x) + bf(x) = g(x)

– Đoán (nhẩm) nghiệm

– Xét tính đơn điệu của hàm số y = af(x) + bf(x) và y = g(x)

– Kết luận nghiệm (thường sẽ có 1 đến 2 nghiệm).

Dạng 4. ${\log }_a\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)=h\left(x\right)$ với h(x) = g(x) – f(x)

– Biến đổi phương trình về dạng: log_af(x) + f(x) = log_a g(x) + g(x) (*)

– Xét hàm đặc trưng: y = log_a t + t

– Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu.

Từ (*) ⇒ f(x) = g(x)

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. log₃ x + log₉ x = 6

b. log₂ x + log₄ x + log₈ x = 11

c. ln(2x² – x ) – lnx = ln3

Lời giải:

a. log₃ x + log₉ x = 6. Điều kiện x > 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 81

b. log₂ x + log₄ x + log₈ x = 11. Điều kiện x > 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 64

c. ln(2x² – x) – lnx = ln3.

Điều kiện X > 1/2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2

b. Đặt ẩn phụ

Bài 2. Giải các phương trình sau

Lời giải:

Với t = 1 ⇒ log₂ x = 1⇔ x = 2

Với t = 2 ⇒ log₂ x = 2 ⇔ x = 4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2; x = 4

Điều kiện x > 0; log x ≠ 3; log x ≠ -1

Đặt t = log x, t ≠ {-1;3}. Phương trình trở thành:

Với t = 1 ⇒ log x = 1 ⇔ x = 10

Với t = 2 ⇒ log x = 2 ⇔ x = 100

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 10; x = 100

c. 1 + 2log₅₊₂ 5 = log₅ (x + 2).

Điều kiện x > -2 ; x ≠ - 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -9/5; x = 23

c. Mũ hóa.

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a. log₂ (5 – 2^x) = 2 - x

b. log₃ ( 2 – 9^x) = x

c. x^{log 9} + 9^{log x} = 6

Lời giải:

a. Log₂ (5 – 2^x) = 2 – x.

Điều kiện 5 – 2^x > 0 ⇔ 2^x < 5 ⇔ x < log₂ 5

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = 2

b. log₃ (2 – 9^x) = x. Điều kiện x < log₉ 2x

Phương trình ⇔ 2 – 9^x = 3^x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

c. x^log9 + 9^{log x} = 6. Điều kiện x > 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

d. Đánh giá hàm số

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a. log₃ x = -x + 11

Lời giải:

a. log₃ x = -x + 11. Điều kiện x > 0

Xét hàm số f(x) = log₃ x + x -11

Do vậy với 0 < x < 9 ⇒ f(x) < f(9) = 0

Với x > 9 ⇒ f(x) > f(9) = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 9

Mà f(2) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất t = 2

Với t = 2 ⇒ x = 9

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9