Đồng quy là gì? Ba đường thẳng đồng quy và cách chứng minh

Đồng quy là gì? Ba đường thẳng đồng quy và cách chứng minh

I. Lý thuyết về Đồng quy

1. Đồng quy là gì?

Đồng quy nghĩa là cùng gặp nhau tại một điểm.

2. Ba đường thẳng đồng quy là gì?

Định nghĩa về ba đường thẳng đồng quy được diễn giải như sau: “Cho ba đường thẳng lần lượt là a, b, c không trùng với nhau. Nếu ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm O nào đó thì ta sẽ gọi đó là đồng quy.

II. Đồng quy trong tam giác

1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

a) Đường trung tuyến của tam giác

Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mổi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.

Ta có: $\frac{GA}{MA}=\frac{GB}{NB}=\frac{GC}{PC}=\frac{2}{3}.$

Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

Ví dụ: Tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.

Khi đó, G được gọi là trọng tâm tam giác ABC.

2. Sự đồng quy của ba đường phân giác

a) Đường phân giác của tam giác

Trong hình dưới đây, cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường phân giác

Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại điểm O.

Ta có: OI = OJ = OK.

3. Sự đồng quy của ba đường trung trực

a) Đường trung trực của tam giác

Trong tam giác ABC, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Ở hình dưới đây, a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

b) Sự đồng quy của ba đường trung trực

Định lí 3: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường trung trực a, b, c đồng quy tại điểm O.

Khi đó: OA = OB = OC.

Nhận xét: Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó (OA = OB = OC) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C.

4. Sự đồng quy của ba đường cao

a) Đường cao của tam giác

Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AH kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay đường cao ứng với cạnh BC).

b) Sự đồng quy của ba đường cao

Định lí 4: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại điểm H.

Chú ý:

- Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại điểm H.

Khi đó, H được gọi là trực tâm của tam giác ABC.

- Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta có:

+) Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.

+) Khi ABC là tam giác vuông thì H trùng với A (kí hiệu H ≡ A).

+) Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.

III. Tính chất của 3 đường thẳng đồng quy

– Nếu hai đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó có thể suy ra đường cao thứ 3 cũng sẽ cùng đi qua giao điểm đó.

– Nếu ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trọng tâm của tam giác.

– Ba đường cao trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trực tâm của tam giác.

– Nếu hai đường trung tuyến trong tam giác bất kỳ cắt nhau tại một điểm thì từ đó ta có thể suy ra đường trung tuyến thứ 3 chắc chắn cũng đi qua giao điểm đó. Trọng tâm sẻ chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần: Từ trọng tâm lên tới đỉnh chiếm tới 2/3 độ dài của trung tuyến đó.

– Nếu ba đường phân giác trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm cụ thể thì điểm này sẽ được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

– Nếu hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó ta có thể suy ra đường phân giác thứ 3 cũng sẽ đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường phân giác sẽ cách đều 3 cạnh của tam giác.

– Khi ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

– Nếu hai đường trung trực bên trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó chúng ta có thể suy ra đường trung trực thứ 3 chắc chắn đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác.

IV. Điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy

- Định lý trọng tâm: Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm. Đồng thời khoảng cách từ điểm này đến đỉnh gấp đôi khoảng cách từ điểm này đến trung điểm của cạnh đối diện. Giao điểm nói trên được gọi là trọng tâm của hình tam giác.

- Định lý tâm ngoại tiếp: các đường trung trực của ba cạnh của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm ngoại tiếp của tam giác.

- Định lý trực tâm: Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác

- Định lý tâm nội tiếp: Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là tâm nội tuyến của tam giác.

- Định lý tâm bàng tiếp: Tia phân giác của góc trong của tam giác và tia phân giác của góc ngoài ở hai đỉnh còn lại cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm bàng tiếp của tam giác. Hình tam giác có 3 tâm bàng tiếp.

- Trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp đều là tâm của tam giác. Chúng đều có những mối liên hệ quan trọng đến hình tam giác.

V. Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy (3 đường thẳng giao nhau tại một điểm) chúng ta thường dùng một trong những cách sau:

Cách 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng, sau đó tiến hành chứng minh đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm đó.

Cách 2: Chứng minh một điểm bất kỳ cũng thuộc vào ba đường thẳng đó.

Cách 3: Sử dụng 1 trong những tính chất đồng quy trong tam giác như là:

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung tuyến.

* Ba đường thẳng có chứa các đường phân giác.

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung trực.

* Ba đường thẳng có chứa các đường các đường cao.

Cách 4: Sử dụng tính chất của các đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song và những đoạn thẳng tỉ lệ.

Cách 5: Sử dụng các chứng minh phản chứng.

Cách 6: Sử dụng tính chất thẳng hàng của các điểm

Cách 7: Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm duy nhất.

VI. Bài tập về 3 đường thẳng đồng quy

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông. Kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh huyền BC của tam giác ABC tại điểm D không thuộc đoạn BC. Nó cắt đường thẳng chứa cạnh AB tại E và cắt đường thẳng chứa cạnh AC tại F. Xác định trực tâm của tam giác BEF.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác BEF, đường cao xuất phát từ B là đường thẳng BD, đường cao xuất phát từ F là đường thẳng FA.

Hai đường cao BD và FA cắt nhau tại C.

Vậy suy ra C là trực tâm của tam giác BEF.

Bài 2: Cho P là một điểm nằm trong góc nhọn xOy. Gọi M là điểm sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM, gọi N là điểm sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN. Đường thẳng MN cắt Ox tại R, cắt Oy tại S. Chứng minh tia PO là tia phân giác của góc RPS.

Hướng dẫn giải

Tam giác OPM là tam giác cân tại O (Vì Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM)

Suy ra $\widehat{OPM}=\widehat{OMP}$ (1) và OM = OP.

Lại có tam giác RPM là tam giác cân tại R (Vì Ox, hay chính là Rx là đường trung trực của đoạn thẳng PM).

Suy ra $\widehat{RPM}=\widehat{RMP}$ (2)

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có:

$\widehat{OPM}-\widehat{RPM}=\widehat{OMP}-\widehat{RMP}$

Hay $\widehat{OPR}=\widehat{OMR}$(*)

Tương tự ta có tam giác OPN là tam giác cân tại O (Vì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN)

Suy ra $\widehat{OPN}=\widehat{ONP}$ (3) và ON = OP.

Lại có tam giác SPN là tam giác cân tại R (Vì Oy, hay chính là Sy là đường trung trực của đoạn thẳng PN).

Suy ra $\widehat{SPN}=\widehat{SNP}$ (4)

Trừ vế với vế của (3) cho (4) ta có:

$\widehat{OPN}-\widehat{SPN}=\widehat{ONP}-\widehat{SNP}$.

Hay $\widehat{OPS}=\widehat{ONS}$(**)

Vì OM = ON (= OP) nên tam giác OMN là tam giác cân tại O.

Do đó: $\widehat{OMR}=\widehat{ONS}$(***)

Từ (*), (**), (***) ta suy ra được $\widehat{OPR}=\widehat{OPS}$.

Vậy suy ra PO là tia phân giác của góc RPS (đpcm).

Bài 3: Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi AH = BC, hãy chứng minh $\widehat{BAC}=45°$.

Hướng dẫn giải

Gọi BJ là đường cao xuất phát từ B của tam giác ABC.

Xét hai tam giác AHJ và tam giác BCJ có:

AH = BC (gt)

$\widehat{AJH}=\widehat{BJC}\left(=90°\right)$

$\widehat{JAH}=\widehat{JBC}$ (cùng phụ với $\widehat{JBC}$)

Do đó ∆AHJ = ∆BCJ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AJ = BJ (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác JAB vuông tại J và có AJ = BJ (cmt)

Nên JAB là tam giác vuông cân tại J.

Vậy $\widehat{BAJ}=\widehat{BAC}=45°$(đpcm).

Bài 4: Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm của AC cắt BC tại V. Chứng minh BU = UV = VC.

Hướng dẫn giải

+) Tam giác BAC có M là trung điểm của BC nên suy ra MB = MC (1)

+) Xét tam giác ABD có U là giao của 2 đường trung tuyến BM và DE nên U là trọng tâm tam giác ABD.

Áp dụng định lí 1 ta có: $\frac{BU}{MB}=\frac{2}{3}\Rightarrow BU=\frac{2}{3}MB$ (2)

Từ đó ta có: $UM=BM-BU=MB-\frac{2}{3}MB=\frac{1}{3}MB$ (3)

+) Xét tam giác ACD có V là giao của 2 đường trung tuyến CM và DF nên V là trọng tâm tam giác AVD

Áp dụng định lí 1 ta có: $\frac{VC}{MC}=\frac{2}{3}\Rightarrow VC=\frac{2}{3}MC$ (4)

Từ đó ta có: $MV=CM-VC=MC-\frac{2}{3}MC=\frac{1}{3}MC$ (5)

Từ (1), (3), (5) ta có:

$UV=UM+MV=\frac{1}{3}MB+\frac{1}{3}MC=\frac{2}{3}MB$ (6)

Từ (1), (2), (4), (6) ta có: $BU=UV=VC=\frac{2}{3}MB$ .

Vậy BU = UV = VC (đpcm).

Bài 5: Tam giác ABC có AD, BE là hai đường phân giác và $\widehat{BAC}=120°$ . Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc ADC.

Hướng dẫn giải

Gọi Ax là tia đối của tia AB thì ba góc BAD, DAC, CAx có cùng số đo 60º.

Hạ EH ⏊ Bx, EI ⏊ AD, EK ⏊ BC

Ta có: Vì BE là phân giác góc ABC nên suy ra EH = EK (Áp dụng định lí 2)

Vì AE là phân giác góc DAx nên suy ra EH = EI (Áp dụng định lí 2)

Suy ra EK = EI hay E nằm trên tia phân giác của ADC

Vậy suy ra DE là đường phân giác của góc ADC (đpcm).

Bài 6: Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BN. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Chứng minh đường thẳng AC đi qua trung điểm của PN, đường thẳng PC đi qua trung điểm của AN.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ANP có đường trung tuyến NM và NC = BC = 2CM nên C là trọng tâm của tam giác ANP.

Vậy AC, PC là hai đường tung tuyến của tam giác ANP

Vì thế suy ra AC đi qua trung điểm của PN và PC đi qua trung điểm của AN.