Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Trục căn thức

    Với tài liệu về Trục căn thức bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

     

    1 145 26/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Trục căn thức

    I. Lý thuyết

    +) Khi đưa thừa số A^2 ra ngoài dấu căn bậc hai ta được |A|:

    \sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B với B \geqslant 0

    +) Khi đưa thừa số A không âm vào trong dấu căn bậc hai ta được A^2:

    A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} với A \geqslant 0;\,\,B \geqslant 0

    Chú ý: A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} với A < 0;\,\,\,B \geqslant 0.

    + Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

    Nhân tử và mẫu với thừa số phụ thích hợp để mẫu là một bình phương.

    \sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{B.B}}} = \frac{1}{{|B|}}.\sqrt {AB} với AB \geqslant 0;\,\,B \ne 0

    +) Trục căn thức ở mẫu:

    \frac{A}{{\sqrt B }} với B > 0

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Khử mẫu của các biểu thức sau:

    a) a\sqrt {\frac{b}{a}} b) x\sqrt {\frac{5}{x}}

    Lời giải:

    a) Nếu a > 0 thì a\sqrt {\frac{b}{a}} = \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}} = \sqrt {ab}

    Nếu a < 0 thì a\sqrt {\frac{b}{a}} = - |a|\sqrt {\frac{b}{a}} = - \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}} = - \sqrt {ab}

    b) Để căn thức có nghĩa, ta có x > 0

    x\sqrt {\frac{5}{x}} = \sqrt {\frac{5}{x}.{x^2}} = \sqrt {5x}

    Ví dụ 2: Trục các căn thức sau:

    a. \sqrt {\frac{{11}}{{12}}}

    b.\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{5}}

    c. \sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{64y}}} với x ≥ 0; y > 0

    d. - xy\sqrt {\frac{y}{x}} với x > 0, y ≥ 0

    Hướng dẫn giải

    a. \sqrt {\frac{{11}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {11} .\sqrt {12} }}{{\sqrt {12} .\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {11.12} }}{{{{\sqrt {12} }^2}}} = \frac{{\sqrt {132} }}{{12}}

    b. \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{5}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}

    c. \sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{64y}}} = \sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{{8^2}y}}} = \frac{{\sqrt 5 .\sqrt {{x^2}} }}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt y }} = \frac{{\sqrt 5 .\left| x \right|}}{{\left| 8 \right|.\sqrt y }}

    Do x ≥ 0 \Rightarrow \frac{{\sqrt 5 .\left| x \right|}}{{\left| 8 \right|.\sqrt y }} = \frac{{x\sqrt 5 }}{{8\sqrt y }}

    d. - xy\sqrt {\frac{y}{x}} = - xy\frac{{\sqrt y }}{{\sqrt x }} = - xy.\frac{{\sqrt y .\sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt x }} = - xy.\frac{{\sqrt {xy} }}{{\sqrt {{x^2}} }} = - xy.\frac{{\sqrt {xy} }}{{\left| x \right|}} = - y\sqrt {xy}

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Trục các căn thức sau:

    a. \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 6 }}

    b. \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }}

    c. \frac{{4 - \sqrt 3 }}{{5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 }}

    d. \frac{{x - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}

    Hướng dẫn giải

    a. \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sqrt 6 }}{{3\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 6 - \sqrt {18} }}{{3.\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 - 3\sqrt 2 }}{{18}}

    b. \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} = \frac{{1.\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)}}{{\left( {\sqrt 4 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{{{{\sqrt 5 }^2} - {{\sqrt 4 }^2}}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{{5 - 4}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{1} = \sqrt 5 - \sqrt 4

    c. \frac{{4 - \sqrt 3 }}{{5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 }}

    = \frac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{\left( {5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}

    = \frac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}}

    \begin{matrix} = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{50 - 20}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{30}} \hfill \\ \end{matrix}

    d. Điều kiện xác định: x \geqslant 0;y \geqslant 0;\sqrt x + \sqrt y > 0

    \frac{{x - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \sqrt x - \sqrt y

    Bài 2: Trục căn thức bậc ba: \sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} - \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}

    Hướng dẫn giải

    \begin{matrix} \sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} - \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{3\sqrt 3 + 18 + 12\sqrt 3 + 8}} - \sqrt[3]{{8 - 12\sqrt 3 + 18 - 3\sqrt 3 }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{\sqrt {{3^3}} + 3.3.2 + 3.4\sqrt 3 + {2^3}}} - \sqrt[3]{{{2^3} - 2.4\sqrt 3 + 3.3.2 - \sqrt {{3^3}} }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^3}}} \hfill \\ = \sqrt 3 + 2 - 2 + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Bài 3: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

    a) \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} b) \frac{26}{5-2\sqrt{3}}

    Lời giải:

    a) \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt 6 }}{2}

    b) \frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = 2\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right) = 10 + 4\sqrt 3

    Bài 4: Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

    \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}

    • \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{1(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}

    Do\ x\neq y\ nên \sqrt{x}\neq \sqrt{y}

    • \frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}

    Do\ a\neq b\ nên\ \sqrt{a}\neq \sqrt{b}.

    Bài 5: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

    a. \frac{{12}}{{5\sqrt 3 }}

    b. \frac{3}{{2\sqrt 5 }}

    c. \frac{2}{{\sqrt 2 }}

    d. \sqrt {\frac{5}{7}}

    e. \sqrt {\frac{7}{{20}}}

    f. \sqrt {\frac{{11}}{{12}}}

    Bài 6: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

    a. \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 5 }}

    b. \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 7 }}

    c. \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{\sqrt 5 + 1}}

    d. \frac{{2\sqrt {10} - 5}}{{4 - \sqrt {10} }}

    e. \sqrt {\frac{7}{{20}}}

    f. \sqrt {\frac{{11}}{{12}}}

    i.\frac{{6\sqrt 2 - 7\sqrt 7 }}{{\sqrt 6 }}

    k. \frac{{2\sqrt 6 + 6\sqrt 7 }}{{3\sqrt 3 }}

    l. \frac{{2\sqrt {10} - 5}}{{4 - \sqrt {10} }}

    m. \frac{{3\sqrt 2 - 6}}{{\sqrt 2 - 1}}

    n. \frac{{5\sqrt 6 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 6 }}

    p. \frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }}

    Bài 7: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

    a. \frac{{1 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} với x > 0;x \ne 4

    b. \frac{{x - y}}{{\sqrt x - \sqrt y }}

    c. \frac{{x + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} với x > 0; y > 0

    d. \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }} với x ≠ 2

    Bài 8: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

    a. \sqrt[3]{{6\sqrt 3 + 10}} + \sqrt[3]{{6\sqrt 3 - 10}}

    b. \sqrt[3]{{45 + 29\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }}

    c. \frac{1}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}}}

    Bài 9: Thực hiện phép tính:

    a. \frac{1}{{3 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 2 }}

    b. \frac{2}{{3\sqrt 2 - 4}} - \frac{2}{{3\sqrt 2 + 4}}

    e. \frac{1}{{2 - \sqrt 3 + \sqrt 5 }}

    f. \frac{a}{{2\sqrt a - 3\sqrt b }}

    c. \frac{1}{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 }}

    d. \frac{1}{{2 - \sqrt 3 + \sqrt 5 }}

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 145 26/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: