Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2023 + Bài tập)

Với tài liệu về Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

1 13,949 31/07/2023

Trang trước

Trang sau

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2023 + Bài tập)

I. Kiến thức cần nhớ

1. Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức Cô-si là một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Do nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), người đã đưa ra một cách chừng mình đặc sắc nên nhiều người hay gọi là bất đẳng thức Cauchy.

2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x₁, x₂, x₃ ,…, x_n là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x₁ + x₂ +...+x_n $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ =....= x_n

Cho x₁, x₂, x₃ ,…, x_n là các số thực dương ta có:

Dạng 1:_{$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$}

Dạng 2: (x₁ + x₂ + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

b) Các bất đẳng thức côsi đặc biệt

c) Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cô si

d) Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM

Khi áp dụng bất đẳng thức cô si thì các số phải là những số không âm
Bất đẳng thức côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

Đối với hai số:

x² + y² $\geq$ 2xy
x² + y² $\geq$ $\frac{{(x + y)}^{2}}{2}$
xy $\leq$ ${(\frac{x + y}{2})}^{2}$

Đối với ba số:

abc $\leq$ $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}$ , abc $\leq {(\frac{a + b + c}{3})}^{3}$

x2+y2≥2x

II. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải.

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi đánh giá đó ta cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xảy ra.

3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cô-si

Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “Ghép cặp” để bài toán trở nên đơn giản.
[ads]

4. Kỹ thuật thêm bớt

Nếu ở các kỹ thuật trên, ta được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào bề ngoài của một bài toán. Thì từ đây ta bắt đầu gặp những lớp bất đẳng thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quát cũng như sự đột phá ý tưởng. Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố bên ngoài” trong việc giải quyết vấn đề.

5. Kỹ thuật Cô-si ngược dấu

Trong quá trình tìm lời giải cho một bài toán bất đẳng thức, một sai lầm thường gặp đó là sau một loạt các đánh giá ta thu được một bất đẳng thức ngược chiều. Điều này làm không ít người cảm thấy nản lòng. Lúc này nếu ta bình tĩnh suy nghĩ một chút thì thấy với đánh giá ngược chiều bằng cách nào đó ta thêm vào trước một dấu âm thì lập tức đánh giá đó sẽ cùng chiều. Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bớt, thậm chí có phần khéo léo hơn, kỹ thuật Cauchy ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên khi giải quyết lớp bất đẳng thức hoán vị chặt và khó.

6. Kỹ thuật đổi biến số

Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn”. Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này.

III. Các dạng bài tập

Dạng 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ: Cho a, b là số dương thỏa mãn a² + b² = 2. Chứng minh rằng (a + b)5 $\geq 16 a b \sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2}})$

Lời giải:

Ta có: (a + b)⁵ = (a² + 2ab + b²)(a³ + 3ab² + 3a²b + b³)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

a² + 2ab + b2 $\geq 2 \sqrt{2 a b (a^{2} + b^{2})} = 4 \sqrt{a b}$

(a³ + 3ab²) + (3a²b + b³) $\geq 2 \sqrt{(a^{3} + 3 a b^{2}) (3 a^{2} b + b^{3})} = 4 \sqrt{a b (1 + b^{2}) (a^{2} + 1)}$

Suy ra (a² + 2ab + b²)(a³ + 3ab² + 3a²b + b³) $\geq 16 a b \sqrt{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}$

Do đó (a + b)⁵ $\geq 16 a b \sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})}$ đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Dạng 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp

Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.
Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường đi chứng minh x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.
Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra (thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).

Ví dụ: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8(a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)

Lời giải: