Dấu hiệu nhận biết hình thang và bài tập vận dụng

Dấu hiệu nhận biết hình thang và bài tập vận dụng

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

Hình thang trong hình học Eculide là một tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang. Hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên.

Hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy gọi là hình thang vuông.

2. Tính chất hình thang

- Tính chất về góc

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ ( Hai hóc nằm ở vị trí trong cùng của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy) .

Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Tính chất về cạnh

• Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
• Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì chúng bằng nhau và hai cạnh đáy cũng bằng nhau.
• Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

- Đường trung bình: đường nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang

Đường trung bình của hình thang có độ dài bằng tổng độ dài hai cạnh đáy.

3. Các dạng đặc biệt của hình thang

• Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
• Hình thang cân là hình thang có hai cạnh kề một đáy bằng nhau.
• Hình bình hành là hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau và hai cạnh bên song song bằng nhau.
• Hình chữ nhật là hình thang vừa vuông vừa cân.

4. Công thức tính chu vi hình thang

Chu vi hình thang bằng tổng độ dài của hai đáy và hai cạnh bên ( Tất cả các cạnh của nó ):

P = a + b + c + d

5. Công thức tính diện tích hình thang

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai cạnh đáy với chiều cao

S = (a + b) x $\frac{h}{2}$

Diện tích của hình thang bằng độ dài đường trung bình nhân với chiều cao

S =$\frac{a+b}{2}$x h

II. Dấu hiệu nhận biết hình thang

Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang

* Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

• Hình thang mà có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
• Hình thang mà có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
• Hình thang mà nội tiếp đường tròn là hình thang cân.
• Hình thang mà có hai trục đối xứng của hai đáy trùng nhau là hình thang cân.

* Dấu hiệu nhận biết hình thang vuông

Dấu hiệu nhận biết hình thang vuông rất đơn giản. Khi bạn thấy trong một hình thang có ít nhất một góc vuông thì đó là hình thang vuông.

III. Các dạng bài

Dạng 1: Tính số đo góc

Phương pháp giải : Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc trong một tứ giác kết hợp với kiến thức đã về hình than, hình thang cân, hình thang vuông.

Câu 1. Cho hình thang ABCD có AB // CD, góc A = 3 góc D, góc B - góc C = 30 độ , tính số đo các góc của hình thang.

Câu 2. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD biết góc A = 2 góc D. Tính các góc của hình thang.

Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang cân, hình thang vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.

Câu 1. Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân.

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Dạng 3. Sử dụng các tính chất của hình thang, hình thang cân, hình thang vuông để chứng minh bài toán.

Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất về cạnh và góc của hình thang, hình thang vuông để chứng minh bài toán.

Câu 1. Cho hình thang vuông ABCD có góc A= góc D = 90 độ, AB = CD, DC= 2 AB và BE vuông góc với CD tại E.

a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác EDB

b) Chứng minh tam giác BEC vuông cân tại E

Câu 2. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD , AB < CD. Gọi G là giao điểm của AD và BC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) Tam giác AGB cân tại G

b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau

c) FC = FD

IV. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình thang ABCD có AB // CD , CD = AD + BC . Gọi K là điểm thuộc đáy CD sao cho KD = AD . Chứng minh :

a) AK là tia phân giác góc A

b) KC = BC

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 4 cm, vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Câu 3. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD

Câu 4. Cho hinh thang ABCD AB // CD có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy AB và CD. Chứng minh EF vuông góc với AB.

Câu 5. CHo hình thang ABCD vuông tại A và D. Có AB = AD = 3 cm, CD= 6 cm. Tính số đo góc B, góc C.

Câu 6. Cho hình thang ABCD có AB // CD, hai đường phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại I thuộc đáy AB. Chứng minh rằng tổng độ dài hai cạnh bên bằng độ dài AB của hình thang.

Câu 7. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. TRên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng qua M sang song với CA cắt AB tại I.

a) Tứ giác ACMI là hình gì?

b) AB + AC < AH + BC

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ HD vuông góc với AC, HE vuông góc với AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng HB, HC. Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông.

Câu 10. Cho hình thang ABCD có AB // CD . Hai đường phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy CD. Chứng minh AD + BC = DC

Câu 11. Cho tứ giác ABCD vuông tại A và D. Cho biết AD = 20, AC = 52 và BC = 29. Tính độ dài AB

Câu 12. Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác của góc A, góc D cắt nhau tại M. Các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại N. Cho biết góc AMD bằng 90 độ. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD là hình thang

b) NB vuông góc với NC

Câu 12. Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các bình phương của hai đương chéo bằng hiệu các bình phương của hai đáy.

Câu 13. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi M là trung điểm của AD. Cho biết MB vuông góc với MC.

a) Chứng minh rằng BC = AB + CD

b) Vẽ MH vuông góc với BC. Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang.

Câu 14. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE ( D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. TRên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng đi qua M và song song với CA cắt AB tại I.

a) Tứ giác ACMI là hình gì?

b) Chứng minh AB + AC < AH + BC

Câu 16. Cho tam giác ABC , các đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I . Qua I kể đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB và AC tại D và E.

a) Vẽ hình và tìm các hình thang trong hình vẽ.

b) Chứng minh rằng hình thang BCED có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.

Câu 17. Cho tam giác ABC có BC = 4 cm, các trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE và CD. Gọi giao điểm MN với CE theo thứ tự P, Q.

a) Tính độ dài MN

b) Chứng ming rằng MP = PQ = QN

Câu 18. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE

a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?

b) Tính các góc của hình thang BEDC, biết góc A bằng 70^o

c) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE =EC ?

Câu 19. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.

Câu 20. Cho tam giác cân ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB lấy thứ tự các điểm D, E sao cho AD = AE

a) Chứng minh rằng tứ giác BDEC là hình thang cân

b) Tính các góc của hình thang cân đó biết góc A bằng 50^o