Tiệm cận ngang là gì? Công thức tính tiệm cận nganng, các dạng bài tập và cách giải

Tiệm cận ngang là gì? Công thức tính tiệm cận nganng, các dạng bài tập và cách giải

I. Tiệm cận ngang là gì?

- Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $\left(a;+\infty \right)$, $\left(-\infty ;b\right)$ hoặc $\left(-\infty ;+\infty \right)$). Đường thẳng $y=y_0$ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0,\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Nghĩa là các giới hạn trên phải tồn tại hữu hạn

II. Công thức tính tiệm cận ngang

1. Tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ

Để tìm tiệm cận ngang của một hàm phân thức hữu tỉ, ta có công thức như bảng sau:

2. Tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỉ

III. Cách tính tiệm cận ngang

1. Cách tính tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x), ta làm theo các bước sau:

• Bước 1. Ta sẽ đi tìm tập xác định của hàm số.

• Bước 2. Tiếp theo tính giới hạn của hàm số đó tại vô cực. Từ đó chúng ta xác định được đường tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Nếu $li{m}_{x\to -\infty }$ = f(x) =y₀ Và $li{m}_{x\to +\infty }$ = f(x) =y₀ thì đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ví dụ: Cho hàm số y = $\frac{x+1}{x^2+1}$1, hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

Giải:

Tập xác định hàm số: D = R

Ta có: $li{m}_{x\to -\infty }y$ =0, $li{m}_{x\to +\infty }y$ = 0

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0.

2. Cách tính tiệm cân ngang bằng máy tính

Để tìm được đường tiệm cận ngang bằng máy tính, ta sẽ tính gần đúng giá trị của $li{m}_{x\to -\infty }y$, $li{m}_{x\to +\infty }y$

Để tính $li{m}_{x\to -\infty }y$ thì ta tính giá trị của hàm số tại một giá trị x rất nhỏ. Ta thường lấy x = −10⁹. Kết quả sẽ là giá trị gần đúng của $li{m}_{x\to -\infty }y$.

Để tính $li{m}_{x\to +\infty }y$ thì ta tính giá trị của hàm số tại một giá trị x rất lớn. Ta thường lấy x = 10⁹. Kết quả sẽ là giá trị gần đúng của $li{m}_{x\to +\infty }y$.

Để tính giá trị hàm số tại giá trị của x, ta dùng CALC trên máy tính.

3. Cách tính tiệm cân ngang bằng bảng biến thiên

Phương pháp giải bài toán tìm đường tiệm cận trên bảng biến thiên được thực hiện theo các bước:

Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên để tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Quan sát bảng biến thiên, suy ra giới hạn khi x đến biên của miền xác định

$li{m}_{x\to -\infty }y$, $li{m}_{x\to +\infty }y$, $li{m}_{x\to {x_0}^{+}}y$, $li{m}_{x\to {x_0}^{-}}y$

Bước 3: Kết luận

IV. Các dạng bài tập về tiệm cận ngang

Dạng 1. Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên

Dạng 2. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước

Dạng 3. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 4. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g[f(x)] khi biết bảng biến thiên hàm số f(x)

*Bài thơ về tiệm cận ngang

Đường tiệm cận

Đừng làm đường cắt nhau

Gặp nhau một lần

xa nhau mãi mãi

Đừng làm đường song song

Khoảng cách suốt đời

không lời hẹn ước

Xin làm đường tiệm cận

Mỗi ngày một gần thêm

Rồi một chiều giông bão sẽ lặng yên

Nơi vô định

thuyền hai ta cập bến

Ai có biết đâu

Anh có biết đâu

Một khoảng trống kiêu sa đơn độc

Vẫn bướng bỉnh lạ lùng

len lỏi...giữa tim nhau.

V. Bài tập về tiệm cận ngang

Bài 1: Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$. Hãy xác định các tiệm cận của đồ thị hàm số này.

Sử dụng công thức, tính giới hạn khi x tiến tới -2 và $+\infty$.

Xác định xem có tiệm cận đứng hay không dựa trên điều kiện không xác định của mẫu số.

Nếu tử số và mẫu số cùng bậc, hãy tìm tiệm cận ngang.

Bài 2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+1}{3x^2+3}$.

Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới $+\infty$ và $-\infty$.

So sánh bậc của tử và mẫu để xác định tiệm cận ngang.

Bài 3: Đối với hàm số $y=\frac{x-3}{x^2-4}$, hãy tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Phân tích mẫu để tìm điểm không xác định, từ đó xác định tiệm cận đứng.

Tính giới hạn tại các điểm không xác định và tại vô cùng để tìm tiệm cận ngang.

Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a. $y=\frac{x}{3-x}$

b. $y=\frac{2x+3}{3-2x}$

c. $y=\frac{5}{x+5}-2$

Bài 5. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:

a. $y=\frac{x^2+3x}{x^2-4}$

b. $y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+5}$

c. $y=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$

Bài 6. Đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x^2-3x-4}+x$ có bao nhiêu đường tiệm cận

Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-mx+2}{x^2-1}$ có đúng 2 đường tiệm cận.