Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Vectơ $\overrightarrow{n}$ ($\overrightarrow{n}\ne 0$) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d được viết dưới dạng:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

$\iff ax+by+c=0$ (với $c=-a{x}_0-b{y}_0$).

II. Các công thức.

- Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng d:

+ Tìm vectơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}=(a;b)$

+ Tìm một điểm thuộc vào d là: $M_0(x_0;y_0)$

+ Viết phương trình tổng quát của d như sau:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

$\iff ax+by+c=0$ ($c=-a{x}_0-b{y}_0$)

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;3)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;3)$, ta có phương trình tổng quát của d là:

$1(x-1)+3(y-3)=0$

$\iff x-1+3y-9=0$

$\iff x+3y-10=0$

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm B(3; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-2;3)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-2;3)$

$\Rightarrow$Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(3;2)$

Đường thẳng d đi qua điểm B(3; 5) , ta có phương trình tổng quát:

$3(x-3)+2(y-5)=0$

$\iff 3x-9+2y-10=0$

$\iff 3x+2y-19=0$

Bài 3: Cho đường thẳng d đi qua điểm C(1; 0) và song song với đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n\text{'}}=(2;-5)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Vì d // d’ nên vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}$ có: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n\text{'}}=(2;-5)$

Đường thẳng d đi qua C(1; 0) , ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$2(x-1)-5(y-0)=0$

$\iff 2x-5y-2=0$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm M(4; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-1)$. Viết phương trình tổng quát của d.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm N(3; -1) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-2;2)$. Viết phương trình tổng quát của d.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất