Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Vectơ $\overrightarrow{n}$ ($\overrightarrow{n}\ne 0$) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$ thì k$\overrightarrow{n}$ ($k\ne 0$)  cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

+ Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{n\text{'}}=(-b;a)$.

II. Các công thức.

- Cho $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $∆\Rightarrow$ k$\overrightarrow{n}$ ($k\ne 0$)  là vectơ pháp tuyến của $∆$.

- Cho đường thẳng $∆$: ax + by + c = 0  $\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của $∆$ là $\overrightarrow{n}=(a;b)$

- Cho đường thẳng $∆$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(b;-a)$, $\overrightarrow{n\text{'}}=(-b;a)$.

- Cho đường thẳng d  và d’. Biết $d\perp d\text{'}$: Nếu d’ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(a;b)$.

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’: Nếu d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(-b;a),\overrightarrow{n}=(b;-a)$.

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d: 5x – 6y + 3 = 0. Tìm vectơ pháp tuyến của d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 5x – 6y + 3 = 0 

$\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}=(5;-6)$

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(8;3)$. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(8;3)$

$\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: $\overrightarrow{n}=(-3;8)$

Bài 3: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$. Tìm vectơ pháp tuyến của các đường thẳng sau:

a) d’ song song với d

b) d’’ vuông góc với d

Lời giải:

a)

Do d’ song song với d và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$ nên ta có:

Vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(-7;3)$

b)

Do d’’ vuông góc với d và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$ nên ta có:

Vectơ pháp tuyến của d’’ là $\overrightarrow{n\text{'}\text{'}}=(3;7)$

IV. Bài tập vận dụng.

Bài 1: Cho đường thẳng d: 4x – 3y – 4 = 0 vuông góc với đường thẳng d’. Tìm vectơ pháp tuyến của d’.

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-3;3)$ . Tìm vectơ pháp tuyến của d.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng 

Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng