Các phép toán trên tập hợp và cách giải bài tập (2024) hay nhất

Phương pháp giải các phép toán trên tập hợp và bài tập hay nhất

1. Lý thuyết

- Giao của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu: $C=A\cap B$.

Vậy: $A\cap B$ = {x| $x\in A$ và $x\in B$}.

- Hợp của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu: $C=A\cup B$.

Vậy:$A\cup B$ = {x| $x\in A$ hoặc $x\in B$}

- Hiệu của hai tập hợp: tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu: C = A \ B.

Vậy: A \ B = {x| $x\in A$ và $x\in B$}.

- Phần bù của hai tập hợp: Khi $B\subset A$ thì A \ B gọi là phần bù của B trong A. Kí hiệu: $C_{A}B$.

2. Phương pháp giải

- Giao của hai tập hợp: $x\in A\cap B\iff \left\{\begin{array}{l}x\in A\\ x\in B\end{array}\right.$

- Hợp của hai tập hợp: $x\in A\cup B\iff \left[\begin{array}{l}x\in A\\ x\in B\end{array}\right.$

- Hiệu của hai tập hợp: $x\in A\backslash B\iff \left\{\begin{array}{l}x\in A\\ x\notin B\end{array}\right.$

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp A là các ước số tự nhiên của 18 và của tập hợp B là các ước số tự nhiên của 30. Hãy xác định: $A\cap B$;$A\cup B$ ; A \ B; B \ A.

Hướng dẫn:

Các ước số tự nhiên của 18 là: 1; 2; 3; 6; 9; 18. Suy ra A = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.

Các ước số tự nhiên của 30 là: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30. Suy ra B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

- Giao của hai tập hợp A và B là các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B

Vậy $A\cap B$ = {1; 2; 3; 6}.

- Hợp của hai tập hợp A và B là các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

Vậy $A\cup B$ = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30}.

- Hiệu của tập hợp A và B là các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

Vậy A \ B = {9; 18}.

- Hiệu của tập hợp B và A là các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A

Vậy B \ A = {5; 10; 15; 30}.

Ví dụ 2: Cho A là một tập hợp tùy ý. Hãy xác định các tập hợp sau:

a.$A\cap A$ .

b. $A\cup A$.

c. A \ A.

d. $A\cap \varnothing$.

e. $A\cup \varnothing$.

f. $A\backslash \varnothing$.

Hướng dẫn:

Sử dụng lý thuyết các phép toán về tập hợp để làm bài này

a. $A\cap A=\text{{}x|x\in A$ và $x\in A\}$ = $\left\{x|x\in A\right\}$ = A.

b. $A\cup A=\text{{}x|x\in A$ hoặc $x\in A\}$ =$\left\{x|x\in A\right\}$ = A.

c. A \ A =$\text{{}x|x\in A$ và $x\notin A$} = $\varnothing$.

d. $A\cap \varnothing$ = $\text{{}x|x\in A$ và $x\in \varnothing \}$ = $\varnothing$.

e. $A\cup \varnothing$ = $\text{{}x|x\in A$ hoặc $x\in \varnothing \}$ = A.

f. $A\backslash \varnothing$ = $\text{{}x|x\in A$ và $x\in \varnothing \}$ = A.

Ví dụ 3: Cho A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}; B = {0; 2; 4; 6; 8; 9} và C = {3; 4; 5; 6; 7}

Hãy tìm $A\cap (B\backslash C)$ và $(A\cap B)\backslash C$. Hai tập hợp nhận được bằng nhau hay khác nhau?

Hướng dẫn:

- Ta có : B \ C = {0; 2; 8; 9}; A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9}

$A\cap (B\backslash C)$ = {x | $x\in A$ và $x\in (B\backslash C)$}. Vậy $A\cap (B\backslash C)$ = {2; 9} (1)

- Ta có: $A\cap B$= {2; 4; 6; 9}; C = {3; 4; 5; 6; 7}

$(A\cap B)\backslash C$= {x | $x\in (A\cap B)$ và $x\notin C$}. Vậy $(A\cap B)\backslash C$ = {2; 9} (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A\cap (B\backslash C)$ = $(A\cap B)\backslash C$.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho tập hợp X = {1; 5}; Y = {1; 3; 5}. Tập $X\cap Y$ là tập hợp nào sau đây?

A. {1}.

B. {1; 3}.

C. {1; 3; 5}.

D. {1; 5}.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Vì $X\cap Y$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X và vừa thuộc Y nên $X\cap Y$= {1; 5}

Câu 2: Cho tập X = {2; 4; 6; 9}; Y = {1; 2; 3; 4}. Tập X \ Y là tập hợp nào sau đây?

A. {1; 2; 3; 5}.

B. {1; 3; 6; 9}.

C. {6; 9}.

D. {1}.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Vì X \ Y là tập hợp các phần tử thuộc X mà không thuộc Y nên X \ Y = {6; 9}.

Câu 3: Cho tập hợp X = {a; b; d}; Y = {a; b; c}. Tập $X\cup Y$ là tập hợp nào sau đây?

A. {a; b; c; d}.

B. {a; b}.

C. {c}.

D. {a; b; c}.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Vì $X\cup Y$ là tập hợp gồm các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y nên $X\cup Y$ = {a; b; c; d}.

Câu 4: Cho hai tập hợp X = {1; 2; 3; 4}; Y = {1; 2}. Tập $C_{X}Y$ là tập hợp sau đây?

A. {1; 2}.

B. {1; 2; 3; 4}.

C. {3; 4}.

D. $\varnothing$

Hướng dẫn:

Chọn C.

Vì $Y\subset X$ nên $C_{X}Y=X\backslash Y=\left\{3;4\right\}$

Câu 5: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp $\left(A\backslash B\right)\cup \left(B\backslash A\right)$ bằng:

A. {0; 1; 5; 6}.

B. {1; 2}.

C. {2; 3; 4}.

D. {5; 6}.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Ta có: A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6}.

Vì A \ B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B nên A \ B = {0; 1}

Vì B \ A là tập hợp gồm các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A nên B \ A = {5; 6}

Suy ra: $\left(A\backslash B\right)\cup \left(B\backslash A\right)$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A \ B vừa thuộc B \ A.

Vậy $\left(A\backslash B\right)\cup \left(B\backslash A\right)=\left\{0;1;5;6\right\}$

Câu 5: Cho tập hợp A = {a; b; c} và B = {a; b; c; d; e}. Có tất cả bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn $A\subset X\subset B$?

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. 8.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Vì $A\subset X$ nên X phải chứa 3 phần tử {a;b; c} của A. Mặt khác $X\subset B$ nên X chỉ có thể lấy các phần tử a; b; c; d; e. Vậy X là một trong các tập hợp sau:

{a; b; c}; {a; b; c; d}; {a; b; c; e}; {a; b; c; d; e}.

Câu 6: Câu 34.

Cho tập hợp {$x\in \mathbb{N}$| x là ước chung của 36 và 120}. Các phần tử của tập hợp A là:

A. A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

B. A = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12}.

C. A = {2; 3; 4; 6; 8; 10; 12}.

D. A = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}.

Hướng dẫn:

Chọn A.

Xét: $A_1=${$x\in \mathbb{N}$| x là ước của 36}$\Rightarrow A_1=\left\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\right\}.$

Xét: $A_2=${$x\in \mathbb{N}$| x là ước của 120}

$\Rightarrow A_2=\left\{1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120\right\}.$

A=$x\in \mathbb{N}\left|x\right.${ là ước chung của 36 và 120}

$\Rightarrow A=A_1\cap A_2=\left\{1;2;3;4;6;12\right\}.$

Câu 7: Ký hiệu H là tập hợp các học sinh của lớp 10A. T là tập hợp các học sinh nam, G là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $T\cup G=H$.

B. $T\cap G=\varnothing$

C. $H\backslash T=G$.

D. $G\backslash T=\varnothing$.

Hướng dẫn:

Chọn D.

Đáp án D sai vì G \ T là tập hợp các học sinh là nữ và không phải nam nên G \ T = G.

Đáp án A đúng vì $T\cup G$ là tập hợp các học sinh là nam hoặc là nữ nên $T\cup G$ là tập hợp các học sinh lớp 10A hay $T\cup G=H$

Đáp án B đúng vì $T\cap G$ là tập hợp các học sinh vừa là nam vừa là nữ. Điều này vô lý nên $T\cap G=\varnothing$.

Đáp án C đúng vì H \ T là tập hợp các học sinh thuộc lớp 10A và không là nam nên H \ T là tập hợp các học sinh là nữ hay $H\backslash T=G$

Câu 8: Cho các tập hợp $A=\left\{x\in ℝ:x^2-7x+6=0\right\}$;$B=\left\{x\in \mathbb{N}:\left|x\right|<4\right\}$ . Khi đó:

A. $A\cup B=A$.

B. $A\cap B=A\cup B$.

C. $A\backslash B\subset A$.

D. $B\backslash A=\varnothing$.

Hướng dẫn:

Chọn C.

Xét phương trình: $x^2-7x+6=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=6\end{array}\right.$ ( thỏa mãn $x\in ℝ$). Vậy A ={1; 6}

$B=\left\{x\in \mathbb{N}:\left|x\right|<4\right\}$$\Rightarrow B=\left\{0;1;2;3\right\}$

Vậy $A\backslash B=\left\{6\right\}\Rightarrow A\backslash B\subset A$.

Đáp án A sai vì $A\cup B$ = {0; 1; 2; 3; 6} không bằng A.

Đáp án B sai vì $A\cap B=\text{{}1\}$ và $A\cup B$ = {0; 1; 2; 3; 6}. Hai tập hợp này không bằng nhau.

Đáp án D sai vì B \ A = {0; 2; 3}.

Câu 9: Cho X = {7; 2; 8; 4; 9; 12}; Y = {1; 3; 7; 4}. Tập nào sau đây bằng tập $X\cap Y$?

A. {1; 2; 3; 4; 8; 9; 7; 12}.

B. {2; 8; 9; 12}.

C. {4; 7}.

D. {1; 3}.

Hướng dẫn:

Chọn C.

$X\cap Y$ là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc X vừa thuộc Y$\Rightarrow X\cap Y=\left\{7;4\right\}.$

Câu 10: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 8; 9}; B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp B \ A bằng:

A. {5}.

B. {0; 1}.

C. {2; 3; 4}.

D. {5; 6}.

Hướng dẫn:

Chọn D.

B \ A là tập hợp gồm các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A.

Suy ra B \ A = {5; 6}.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Xác định tính đúng sai của mệnh đề

Mệnh đề và suy luận toán học hay và chi tiết

Mệnh đề phủ định và cách giải các dạng bài toán

Tập hợp, cách xác định tập hợp và cách giải bài tập

Các bài toán về các tập hợp số và cách giải