Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và bài tập (2024) hay nhất

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và bài tập hay nhất

A. Lí thuyết tổng hợp

- Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thường có dạng:

$$\begin{gathered} \sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)};\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right); \\ \sqrt{f\left(x\right)}+\sqrt{g\left(x\right)}=\sqrt{h\left(x\right)};\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)}}=g\left(x\right) ;\dots .. \end{gathered}$$

- Điều kiện xác định của $\sqrt{f\left(x\right)}$ là $f\left(x\right)\ge 0$

- Điều kiện xác định của $\frac{A}{\sqrt{f\left(x\right)}}$ là $f\left(x\right)>0$, với A là một số hoặc một biểu thức.

B. Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta có các phương pháp:

- Bình phương hai vế. (phép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả nên khi tìm ra nghiệm x ta cần thay lại phương trình để kiểm tra).

- Các phép biến đổi tương đương:

$$\begin{gathered} \sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\left(g\left(x\right)\ge 0\right)\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}\right. \\ \sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\iff \left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)=g^2\left(x\right)\end{array}\right. \\ \sqrt{f\left(x\right)}+\sqrt{g\left(x\right)}=\sqrt{h\left(x\right)} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)+g\left(x\right)+2\sqrt{f\left(x\right).g\left(x\right)}=h\left(x\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.

- Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc phương trình tích.

C. Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải các phương trình : $\sqrt{5x+6}=\sqrt{4x+3}$.

Lời giải:

Điều kiện xác định :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}5x+6\ge 0\\ 4x+3\ge 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{-6}{5}\\ x\ge \frac{-3}{4}\end{array}\right.\iff x\ge \frac{-3}{4} \end{gathered}$$

Với điều kiện xác định trên ta có:

$\sqrt{5x+6}=\sqrt{4x+3}$

$\Rightarrow$ 5x + 6 = 4x + 3

$\iff$ x = –3 ( không thỏa mãn điều kiện xác định )

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải phương trình:$\sqrt{3x+7}=x+3$ .

Lời giải:

Ta có:$\sqrt{3x+7}=x+3$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x+3\ge 0\\ 3x+7={(x + 3 )}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -3\\ 3x+7=x^2+6x+9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -3\\ x^2+3x+2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Xét phương trình $x^2+3x+2=0$ ta có: 1 – 3 + 2 = 0

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=-1$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2=\frac{-2}{1}=-2$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {–1; –2}.

Bài 3: Giải phương trình: $x-\sqrt{x+1}-5=0$.

Lời giải:

Điều kiện xác định:$x\ge -1$

Đặt ẩn phụ $t=\sqrt{x+1}$ ($t\ge 0$)

$\Rightarrow t^2=x+1\Rightarrow x=t^2-1$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

$$\begin{gathered} t^2-1-t-5=0 \\ \iff t^2-t-6=0 \end{gathered}$$

Xét phương trình $t^2-t-6=0$ có:

$\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.}(-6)=25$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$t_1=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2.1}=3$ ;

$t_2=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2.1}=-2$ ( không thỏa mãn điều kiện $t\ge 0$)

Với $t_1=3$ ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt{x+1}=3 \\ \Rightarrow x+1=3^2\iff x=8 \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {8}.

Bài 4: Giải phương trình: $\frac{1}{\sqrt{x+4}}=2$

Lời giải:

Điều kiện xác định: x > –4

Với điều kiện xác định trên ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{x+4}}=2 \\ \iff \frac{1}{\sqrt{x+4}}=\frac{2\sqrt{x+4}}{\sqrt{x+4}} \\ \Rightarrow 1=2\sqrt{x+4} \\ \iff \sqrt{x+4}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x+4=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$\iff x=\frac{-15}{4}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{-15}{4}\right\}$.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phương trình nào dưới đây là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ?

A. x + 2 = 3x

B. 2x + 2 = 0

C.$x^2-4x+5=0$

D.$\sqrt{x+4}-5x=3$

Đáp án: D

Bài 2: Điều kiện xác định của $\sqrt{f\left(x\right)}$ là gì ?

A. f (x) < 0

B. f (x) > 0

C. $f\left(x\right)\ge 0$

D. f (x) = 0

Đáp án: C

Bài 3: Giải phương trình: $\sqrt{x+5}=\sqrt{2x^2}$.

Đáp án: Tập nghiệm $S=\left\{\frac{1+\sqrt{41}}{4};\frac{1-\sqrt{41}}{4}\right\}$

Bài 4: Giải phương trình $\sqrt{3x^2+2x+4}=\sqrt{2x^2+4x+3}$.

Đáp án: Tập nghiệm S = {1}

Bài 5: Giải phương trình $\sqrt{2x+5}=x-4$.

Đáp án: Tập nghiệm $S=\left\{5+\sqrt{14}\right\}$

Bài 6: Giải phương trình $\sqrt{5x^2-3x}-2x+3=0$.

Đáp án: Phương trình vô nghiệm

Bài 7: Giải phương trình $\frac{2x+1}{\sqrt{x+3}}=2$.

Đáp án: Tập nghiệm $S=\left\{\frac{\sqrt{11}}{2}\right\}$

Bài 8: Giải phương trình $\frac{3}{\sqrt{2x+3}}=\frac{1}{3x-1}$.

Đáp án: Tập nghiệm $S=\left\{\frac{28+2\sqrt{298}}{81}\right\}$

Bài 9: Giải phương trình $\sqrt{2x^2-5x}+3=2x$.

Đáp án: Phương trình vô nghiệm

Bài 10: Giải phương trình $\sqrt{2x^2}+3x=0$.

Đáp án: Tập nghiệm S = {0}

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Đại cương về phương trình và cách giải bài tập

Các phương trình đưa về phương trình bậc nhất và cách giải bài tập

Các phương trình đưa về phương trình bậc hai và cách giải bài tập

Hệ phương trình lớp 10 và cách dạng bài tập

Bất đẳng thức lớp 10 và cách giải bài tập