Công thức về mệnh đề và mệnh đề phủ định (2024) chi tiết nhất

Phương pháp giải về mệnh đề và mệnh đề phủ định hay nhất

I. Lý thuyết tổng hợp

- Mệnh đề: Là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc sai của nó. Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

- Mệnh đề chứa biến: Là câu khẳng định mà sự đúng đắn, hay sai của nó còn tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố biến đổi.

- Mệnh đề phủ định: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề trái ngược với P, kí hiệu là $\overline{P}$. Nếu P đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu P sai thì $\overline{P}$ đúng.

- Mệnh đề kéo theo: Có dạng "Nếu A thì B" (A và B là hai mệnh đề ), kí hiệu là $A\Rightarrow B$. Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo: Mệnh đề $A\Rightarrow B$ chỉ sai khi A đúng và B sai.

- Mệnh đề đảo: Mệnh đề $B\Rightarrow A$là mệnh đề đảo của mệnh đề .

- Mệnh đề tương đương: Nếu $A\Rightarrow B$ là một mệnh đề đúng và mệnh đề $B\Rightarrow A$ cũng là một mệnh đề đúng thì ta nói A tương đương với B, kí hiệu: . Khi $A\iff B$, ta cũng nói A là điều kiện cần và đủ để có B hoặc A khi và chỉ khi B hay A nếu và chỉ nếu B.

- Kí hiệu $\forall$: Đọc là “ với mọi ” .

- Kí hiệu $\exists$: Đọc là “có một” (“tồn tại một”) hoặc “có ít nhất một” (“tồn tại ít nhất một”).

II. Các công thức

- Với mệnh đề $\overline{P}$ là mệnh đề phủ định của P thì:

+ P sai $\iff \overline{P}$ đúng

+ P đúng $\iff \overline{P}$ sai

- Mệnh đề $A\Rightarrow B$chỉ sai khi A đúng và B sai.

- Mệnh đề đảo của mệnh đề $A\Rightarrow B$ là mệnh đề $B\Rightarrow A$

- Nếu $A\Rightarrow B$ và $B\Rightarrow A$đồng thời là hai mệnh đề đúng thì $A\iff B$.

- Cho P(x) là mệnh đề chứa biến, x thuộc tập hợp X. Với bất kì x thì P(x) là mệnh đề đúng, tức là: $\forall x\in X:P\left(x\right)$

- Cho P(x) là mệnh đề chứa biến, x thuộc tập hợp X. Có ít nhất một giá trị x để P(x) là mệnh đề đúng , tức là:$\exists x\in X:P\left(x\right)$

- Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\forall x\in X:P\left(x\right)$ là $\exists x\in X:\overline{P\left(x\right)}$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho mệnh đề A: “Phương trình $x^2-4x+3=0$có hai nghiệm trái dấu”. Xét tính đúng sai của mệnh đề $\overline{A}$.

Lời giải:

Xét mệnh đề A: “Phương trình $x^2-4x+3=0$ có hai nghiệm trái dấu”.

Xét phương trình $x^2-4x+3=0$ có : 1 – 4 + 3 = 0 Phương trình có hai nghiệm: $x_1=1;x_2=3$ (cùng dấu )

Mệnh đề A là mệnh đề sai.

Mà mệnh đề $\overline{A}$ là mệnh đề phủ định của A nên khi A là mệnh đề sai thì $\overline{A}$ là mệnh đề đúng.

Vậy mệnh đề $\overline{A}$ là mệnh đề đúng.

Bài 2: Cho mệnh đề A: “ Biểu thức A lớn hơn không ”, mệnh đề B: “ Biểu thức A nhỏ hơn không ” và mệnh đề C: “ Biểu thức A + 1 lớn hơn 1 ”. Với A = 1, hãy xét tính đúng sai của mệnh đề $A\Rightarrow B$ và chứng minh rằng $A\iff C$.

Lời giải:

Dễ thấy mệnh đề B: “ Biểu thức A nhỏ hơn không ” là mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “ Biểu thức A lớn hơn không ”. Mà theo đề bài, ta có: mệnh đề A với A = 1 > 0 là đúng $\Rightarrow$ mệnh đề B sai.

Khi đó, mệnh đề $A\Rightarrow B$ là mệnh đề sai vì A là mệnh đề đúng và B là mệnh đề sai.

Ta có: A = 1 $\Rightarrow$A > 0 $\Rightarrow$ A + 1 > 0 + 1 $\Rightarrow$ A + 1 > 1.

Từ đó ta thấy $A\Rightarrow C$ là mệnh đề đúng. (1)

Ta có: A = 1 $\Rightarrow$A + 1 > 1$\Rightarrow$ A + 1 – 1 > 1 – 1 $\Rightarrow$ A > 0

Từ đó ta thấy $C\Rightarrow A$ là mệnh đề đúng. (2)

Từ (1) và (2) ta có: $A\iff C$

Bài 3: Cho mệnh đề chứa biến $\forall x\in ℝ:x^2>0$. Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của nó.

Lời giải:

Ta có: x = 0 $\Rightarrow x^2=0$ nên $\forall x\in ℝ:x^2>0$ là mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\forall x\in ℝ:x^2>0$ là $\exists x\in ℝ:x^2\le 0$

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho mệnh đề A: “4 + 5 = 9 ”. Xét tính đúng sai của mệnh đề $\overline{A}$.

Bài 2: Cho mệnh đề $\forall x\in R:\frac{x+5}{3}\ge 5$. Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định của nó.

Bài 3: Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “∀n ∈ N, n² + 1 không chia hết cho 3”

Bài 4: Xét các mệnh đề sau đúng hay sai, lập mệnh đề phủ định của mệnh đề:

a. ∀x ∈ R, x² - x + 1 > 0.

b. ∃x ∈ N, (n + 2)(n + 1) = 0.

c. ∃x ∈ Q, x² = 3.

Bài 5: Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “∀n ∈ N, n² + 1 không chia hết cho 3

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức về tập hợp

Công thức về mối liên hệ các tập hợp số

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết

Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|