Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (2024) chi tiết nhất

Phương pháp xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Cho K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng, y = f(x) là hàm số xác định trên K.

+ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x thuộc K thì khi x tăng f(x) cùng tăng, khi x giảm f(x) cùng giảm.

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x thuộc K thì khi x tăng f(x) giảm, khi x giảm f(x) tăng.

- Lưu ý.

+ Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên.

+ Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

+ Hàm số bậc nhất y = ax + b luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên .

II. Các công thức

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy $x_1,x_2\in K$ và $x_1<x_2$.

Đặt T = $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$. Ta có:

T > 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K

T < 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy $x_1,x_2\in K$ và $x_1\ne x_2$.

Đặt $T=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$. Ta có:

T > 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K

T < 0 $\iff$ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K

- Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên.

- Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$.

Lời giải:

- Điều kiện xác định của hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ là:$x-3\ne 0\iff x\ne 3$

Tập xác định của hàm số y = f(x) là: $D=R\backslash \text{{}3\}$

Hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ xác định trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$

- Lấy $x_1,x_2\in (3;+\infty )$ và $x_1\ne x_2$. Đặt $T=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow T=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1+1-\frac{2}{x_1-3}-\left(x_2+1-\frac{2}{x_2-3}\right)}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1+1-\frac{2}{x_1-3}-x_2-1+\frac{2}{x_2-3}}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1-x_2-2\left(\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_2-3}\right)}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1-x_2-2\left[\frac{x_2-3-x_1+3}{(x_1-3)(x_2-3)}\right]}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1-x_2-2\left[\frac{x_2-x_1}{(x_1-3)(x_2-3)}\right]}{x_1-x_2} \\ =\frac{x_1-x_2+2\left[\frac{x_1-x_2}{(x_1-3)(x_2-3)}\right]}{x_1-x_2} \\ =\frac{1+\frac{2}{(x_1-3)(x_2-3)}}{1} \\ =1+\frac{2}{(x_1-3)(x_2-3)} \end{gathered}$$

Ta thấy trong khoảng $\left(3;+\infty \right)$ thì T luôn xác định.

Với $x_1,x_2\in (3;+\infty )$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1-3>0\\ x_2-3>0\end{array}\right. \\ \Rightarrow T=1+\frac{2}{(x_1-3)(x_2-3)}>0 \end{gathered}$$

Hàm số $y=f\left(x\right)=x+1-\frac{2}{x-3}$ đồng biến trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$.

Bài 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: $y=f\left(x\right)=x^2-4$ trên khoảng $(-\infty ;0)$.

Lời giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-4$ xác định trên R

$\Rightarrow$ Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-4$ xác định trên khoảng $(-\infty ;0)$

Lấy $x_1,x_2\in (-\infty ;0)$ và $x_1<x_2$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_2-x_1>0\\ x_1+x_2<0\end{array}\right.$ (1)

Ta có: $T=f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$

$$\begin{gathered} =({x_2}^2-4)-({x_1}^2-4) \\ ={x_2}^2-{x_1}^2=(x_2-x_1)(x_1+x_2) \end{gathered}$$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow T<0$$\Rightarrow$ Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-4$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên khoảng (2; 4) và đoạn [-4; -2].

Lời giải:

Ta thấy khi thì đồ thị của hàm số y = f(x) đi lên

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (2; 4)

Ta thấy khi thì đồ thị của hàm số y = f(x) đi xuống

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [-4; -2]

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 4x – 9 trên toàn tập xác định của nó.

Bài 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-5x+7$ trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết

Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|

Công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ

Cách vẽ đồ thị Parabol chi tiết

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất