Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số (2024) chi tiết nhất

Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Tập đối xứng: $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ thì ta gọi D là tập đối xứng.

- Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D với D là tập đối xứng.

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D thì f(x) = f(-x)

+ Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D thì f(x) = - f(-x)

- Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.

- Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ:

+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

II. Các công thức

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D là tập đối xứng:

+ Hàm số chẵn $\iff \left\{\begin{array}{l}\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\\ f\left(x\right)=f(-x)\end{array}\right.$

+ Hàm số lẻ $\iff \left\{\begin{array}{l}\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\\ f\left(x\right)=-f(-x)\end{array}\right.$
- Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số: Cho hàm số y = f(x):

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2: Kiểm tra xem D có phải là tập đối xứng không:

Nếu $\exists x_0\in D\Rightarrow -x_0\notin D\Rightarrow$D không phải tập đối xứng $\Rightarrow$Hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Nếu $\forall x_0\in D\Rightarrow -x_0\in D\Rightarrow$D là tập đối xứng $\Rightarrow$Chuyển sang bước tiếp theo.

Bước 3: Xác định f($x_0$) và f(-$x_0$) và so sánh:

Nếu f($x_0$) = f(-$x_0$) $\Rightarrow$ Hàm số là chẵn.

Nếu f($x_0$) = - f(-$x_0$) $\Rightarrow$ Hàm số là lẻ.

Nếu$\exists x_0\in D\Rightarrow f(-x_0)\ne \pm f\left(x_0\right)\Rightarrow$ Hàm số không chẵn cũng không lẻ

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: y = f(x) = $\sqrt[3]{x}+x^3$.

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = xác định trên

$\Rightarrow$Tập xác định D = R

Ta có: $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$

Xét:

f(x) = $\sqrt[3]{x}+x^3$

f(-x) = $$\begin{gathered} \sqrt[3]{(-x)}+{(-x)}^3 \\ =\sqrt[3]{(-1)x}+{(-1)}^3.x^3 \\ =-\sqrt[3]{x}-x^3=-\left(\sqrt[3]{x}+x^3\right) \end{gathered}$$

$\Rightarrow f(-x)=-f\left(x\right)$

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) = $\sqrt[3]{x}+x^3$ là hàm số lẻ.

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: y = f(x) = $x^4+\sqrt{x^2+4}$

Lời giải:

Ta có: $\forall x\in ℝ\Rightarrow x^2+4>0$

$\Rightarrow$Tập xác định của hàm số y = f(x) = $x^4+\sqrt{x^2+4}$ là $D=ℝ$

$\Rightarrow \forall x\in D\Rightarrow -x\in D$

Xét:

f(x) = $x^4+\sqrt{x^2+4}$

f(-x) = ${(-x)}^4+\sqrt{{(-x)}^2+4}$

$$\begin{gathered} ={(-1)}^4.x^4+\sqrt{{(-1)}^2{x}^2+4} \\ =x^4+\sqrt{x^2+4} \\ \Rightarrow f(-x)=f\left(x\right) \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Hàm số y = f(x) = $x^4+\sqrt{x^2+4}$là hàm số chẵn.

Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: y = f(x) = $\sqrt{2-x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}$

Lời giải:

Điều kiện xác định của hàm số: y = f(x) = $\sqrt{2-x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}$là: $2-x>0\iff x<2$

$\Rightarrow$Tập xác định $D=(-\infty ;2)$

Với $x_0=-3\in D$ nhưng $-x_0=3\notin D$

$\Rightarrow$ Hàm số y = f(x) = $\sqrt{2-x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}$ không chẵn cũng không lẻ.

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}$

b) $f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}-\sqrt{x^4+2}$

Bài 2: Tìm tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2(x^2-2)+(2m^2-2)x}{\sqrt{x^2+1}-m}$ là hàm số chẵn.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|

Công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ

Cách vẽ đồ thị Parabol chi tiết

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất