Công thức về tổng và hiệu hai vectơ (2024) và cách giải các dạng bài tập

Công thức về tổng và hiệu hai vectơ chi tiết nhất - Toán lớp 10

A. Lý thuyết tóm tắt về tổng - hiệu hai vecto

- Định nghĩa tổng của hai vectơ: Có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

- Vectơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$. Kí hiệu là $-\overrightarrow{a}$. Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{0}$ là $\overrightarrow{0}$.

- Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ tùy ý. Ta có: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$.

- Tính chất của phép cộng :

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ ( giao hoán )

+) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ ( kết hợp )

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

- Quy tắc ba điểm: Với A, B, C tùy ý

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (đối với tổng)

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (đối với hiệu)

B. Các công thức tổng - hiệu hai vecto

- Vectơ đối: $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}\iff \left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$ và $\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{b}$

- Hiệu hai vectơ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$.

- Độ dài vectơ tổng, hiệu:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\Rightarrow \left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right| \\ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\Rightarrow \left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right| \end{gathered}$$

- Tính chất phép cộng:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \\ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \\ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a} \end{gathered}$$

- Quy tắc ba điểm: A, B, C tùy ý.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} \end{gathered}$$

- Chú ý: $\overrightarrow{0}=-\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

C. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình tam giác ABC. Biết AC = a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

Giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm với A, B, C ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a$

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}$.

Giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}$ (1)

Áp dụng tính chất phép cộng vectơ ta có:

(1)$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

$=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}$

Áp dụng quy tắc ba điểm với A, B, C có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \left(1\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$

Áp dụng quy tắc ba điểm với A, C, D có:

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(1\right)=\overrightarrow{AD} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=2a \end{gathered}$$

Bài 3: Cho ba điểm M, N, E tùy ý. Biết khoảng cách giữa E và N là 6a. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{ME}$, $\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{EM}$

Giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm về hiệu cho ba điểm M, N, E ta có: $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{EN}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{ME}\right|=\left|\overrightarrow{EN}\right|=EN=6a$

Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{NM}-\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{NM}+(-\overrightarrow{EM}) \\ =\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{NE} \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{EM}\right|=\left|\overrightarrow{NE}\right|=NE=6a \end{gathered}$$

D. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 2a, AD = a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AC = 2a và AH = a. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{HC}$

Bài 3: Cho A, B, C, D, E, F tùy ý. Tính tổng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE}$.

Bài 4: Cho tam giác MNQ biết MQ = 3a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{QN}$.

Bài 5: Cho F, E, N, M, I tùy ý. Chứng minh đẳng thức: $\overrightarrow{FE}-\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NF}=\overrightarrow{IE}-\overrightarrow{IM}$.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Trọn bộ công thức cơ bản về Vectơ dầy đủ

Quy tắc trung điểm, trọng tâm, quy tắc hình bình hành vecto lớp 10 chi tiết nhất

Công thức Phân tích vectơ lớp 10 chi tiết nhất

Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất

Công thức góc giữa hai vectơ chi tiết nhất