Phương trình đường elip | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Phương trình đường elip và cách giải bài tập – Toán lớp 10

A. Lí thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Các thành phần của Elip: Trong mặt phẳng Oxy

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1)  với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

- Hình dạng của elip: Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ.

- Liên hệ giữa đường tròn và đường elip:

+ Từ hệ thức $b^2=a^2-c^2$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn

+ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2=a^2$. Với mỗi điểm M (x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’; y’) sao cho :  $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=\frac{b}{a}y\end{array}\right.$ với (0 < b < a)  thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình:

$\frac{x{\text{'}}^2}{a^2}+\frac{y{\text{'}}^2}{b^2}=1$ là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

B. Các dạng bài

Dạng 1: Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip.

Phương pháp giải:

Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

- Trục lớn của (E) nằm trên Ox: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

- Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: $B_1{B}_2=2b$

- Tiêu cự của (E):  $F_1{F}_2=2c=2\sqrt{a^2-b^2}$

- Tiêu điểm của (E): $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0) với $c=\sqrt{a^2-b^2}$

- Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$ với$c=\sqrt{a^2-b^2}$

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Xác định độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Lời giải:

Xét phương trình elip (E) :

Bài 2: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Elip.

Phương pháp giải:

Từ các thông tin đề bài cho, ta áp dụng các hệ thức:

+ Hai tiêu điểm:$F_1$ (-c; 0) và $F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh:$A_1$ (-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn:${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ:$B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$

+ $b^2=a^2-c^2$

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 10, độ dài trục nhỏ là 6.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$ (0; b)

Ta có độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a=10\Rightarrow a=5$

Ta có độ dài trục nhỏ:   $B_1{B}_2=2b=6\Rightarrow b=3$

Ta có phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 16 và tâm sai là 0,8 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Lời giải:

Dạng 3: Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện.

Phương pháp giải:

- Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B:

+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (a > b > 0).

+ Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình (E) ta được hai phương trình ẩn $a^2,b^2$.

+ Giải hệ phương trình ta được $a^2,b^2\Rightarrow$  Phương trình chính tắc của elip.

- Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện về tiêu cự ; độ dài trục lớn, trục nhỏ; tâm sai...

+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E) :  (a > b > 0).

+ Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình (E) ta được một phương trình ẩn $a^2,b^2$

+ Từ điều kiện của đề bài thiết lập một phương trình ẩn $a^2,b^2$, với $a^2-b^2=c^2$

Kết hợp ba phương trình trên để tìm $a^2,b^2\Rightarrow$ Phương trình chính tắc của elip ( E)

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) khi biết một tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{3};0)$ và elip đi qua điểm A $\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: 

Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết elip đi qua hai điểm N(0; 1) và M $\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: 

Dạng 4: Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip

Phương pháp giải:

+ Phương trình elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ và đường thẳng  $\Delta :y=mx+n.$

+ Ta xét phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{{(mx+n)}^2}{b^2}=1(*)$. Ta có 3 trường hợp:

TH1: $(*)$ có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).

TH2: $(*)$ có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).

TH3: $(*)$vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng . Có bao nhiêu giao điểm của đường thẳng d và elip (E)?

Lời giải:

Ta có

$d:3x+4y-12=0\iff y=3-\frac{3x}{4}$,

thay vào phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ ta được

Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0; 3), B(4; 0).

Bài 2: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ và đường thẳng $d:x-\sqrt{2}y+2=0$. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là bao nhiêu?

Lời giải

Tọa độ giao điểm của elip và đường thẳng là nghiệm của hệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ x-\sqrt{2}y+2=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2=8\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^2-\sqrt{2}y-1=0\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Có 2 nghiệm  nên có 2 nghiệm$x\Rightarrow$  có 2 giao điểm.

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip có phương trình: $\frac{x^2}{49}+y^2=1$.

Đáp án: $A_1{A}_2=14;B_1{B}_2=2;F_1{F}_2=8\sqrt{3}$

Bài 2: Xác định tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$.

Đáp án:

$F_1(-4\sqrt{3};0),F_2(4\sqrt{3};0),e=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài 3: Xác định tiêu cự, tâm sai của elip có phương trình: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$.

Đáp án:$F_1{F}_2=2\sqrt{2},e=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài 4: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 10 và độ dài trục nhỏ là 4.

Lời giải: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$

Bài 5: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20 và có một tiêu điểm là $F_2$(3; 0).

Đáp án: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{91}=1$

Bài 6: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ là 12 và có một tiêu điểm là $F_1$(-2; 0).

Đáp án: $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{36}=1$

Bài 7: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(3; 0) và có một tiêu điểm là (-2; 0).

Đáp án: $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Bài 8: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(0; 5) và có độ dài tiêu cự là 6. 

Đáp án: $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Bài 9: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng $\frac{1}{2}$.

Đáp án: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$

Bài 10:  Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A(7; 0) và B(0; 3).

Đáp án: $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{9}=1$