Phương trình đường elip (Lý thuyết, công thức) các dạng bài tập và cách giải

Phương trình đường elip và cách giải bài tập – Toán lớp 10

I. Lý thuyết đường elip

1. Định nghĩa elip

Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Hình dạng của elip: Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ.

2. Các thành phần của Elip

Trong mặt phẳng Oxy

II. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1) với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

III. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

+ Từ hệ thức $b^2=a^2-c^2$ ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn

+ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2=a^2$. Với mỗi điểm M (x; y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’; y’) sao cho : $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=x\\ y\text{'}=\frac{b}{a}y\end{array}\right.$ với (0 < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình:

$\frac{x{\text{'}}^2}{a^2}+\frac{y{\text{'}}^2}{b^2}=1$ là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

IV. Các dạng bài tập về đường elip

Dạng 1: Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip.

Phương pháp giải:

Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

- Trục lớn của (E) nằm trên Ox: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

- Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: $B_1{B}_2=2b$

- Tiêu cự của (E): $F_1{F}_2=2c=2\sqrt{a^2-b^2}$

- Tiêu điểm của (E): $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0) với $c=\sqrt{a^2-b^2}$

- Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$ với$c=\sqrt{a^2-b^2}$

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Xác định độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Lời giải:

Xét phương trình elip (E) :

Bài 2: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Elip

Phương pháp giải:

Từ các thông tin đề bài cho, ta áp dụng các hệ thức:

+ Hai tiêu điểm:$F_1$ (-c; 0) và $F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh:$A_1$ (-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn:${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ:$B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$

+ $b^2=a^2-c^2$

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 10, độ dài trục nhỏ là 6.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$ (0; b)

Ta có độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a=10\Rightarrow a=5$

Ta có độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b=6\Rightarrow b=3$

Ta có phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 16 và tâm sai là 0,8 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Lời giải:

Dạng 3: Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện

Phương pháp giải:

- Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B:

+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

+ Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình (E) ta được hai phương trình ẩn $a^2,b^2$.

+ Giải hệ phương trình ta được $a^2,b^2\Rightarrow$ Phương trình chính tắc của elip.

- Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện về tiêu cự ; độ dài trục lớn, trục nhỏ; tâm sai...

+ Gọi phương trình chính tắc của elip (E) : (a > b > 0).

+ Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình (E) ta được một phương trình ẩn $a^2,b^2$

+ Từ điều kiện của đề bài thiết lập một phương trình ẩn $a^2,b^2$, với $a^2-b^2=c^2$

Kết hợp ba phương trình trên để tìm $a^2,b^2\Rightarrow$ Phương trình chính tắc của elip ( E)

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) khi biết một tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{3};0)$ và elip đi qua điểm A $\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là:

Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết elip đi qua hai điểm N(0; 1) và M $\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là:

Dạng 4: Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip

Phương pháp giải:

+ Phương trình elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ và đường thẳng $\Delta :y=mx+n.$

+ Ta xét phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{{(mx+n)}^2}{b^2}=1(*)$. Ta có 3 trường hợp:

TH1: $(*)$ có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).

TH2: $(*)$ có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).

TH3: $(*)$vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng . Có bao nhiêu giao điểm của đường thẳng d và elip (E)?

Lời giải:

Ta có

$d:3x+4y-12=0\iff y=3-\frac{3x}{4}$,

thay vào phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ ta được

Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0; 3), B(4; 0).

Bài 2: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ và đường thẳng $d:x-\sqrt{2}y+2=0$. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là bao nhiêu?

Lời giải

Tọa độ giao điểm của elip và đường thẳng là nghiệm của hệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ x-\sqrt{2}y+2=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2=8\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^2-\sqrt{2}y-1=0\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Có 2 nghiệm nên có 2 nghiệm$x\Rightarrow$ có 2 giao điểm.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip có phương trình: $\frac{x^2}{49}+y^2=1$.

Đáp án: $A_1{A}_2=14;B_1{B}_2=2;F_1{F}_2=8\sqrt{3}$

Bài 2: Xác định tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$.

Đáp án:

$F_1(-4\sqrt{3};0),F_2(4\sqrt{3};0),e=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài 3: Xác định tiêu cự, tâm sai của elip có phương trình: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$.

Đáp án:$F_1{F}_2=2\sqrt{2},e=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài 4: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 10 và độ dài trục nhỏ là 4.

Lời giải: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$

Bài 5: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20 và có một tiêu điểm là $F_2$(3; 0).

Đáp án: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{91}=1$

Bài 6: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ là 12 và có một tiêu điểm là $F_1$(-2; 0).

Đáp án: $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{36}=1$

Bài 7: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(3; 0) và có một tiêu điểm là (-2; 0).

Đáp án: $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Bài 8: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(0; 5) và có độ dài tiêu cự là 6.

Đáp án: $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Bài 9: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng $\frac{1}{2}$.

Đáp án: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$

Bài 10: Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A(7; 0) và B(0; 3).

Đáp án: $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{9}=1$