Công thức giải phương trình chứa dấu căn (2024) chi tiết nhất

Công thức giải phương trình chứa dấu căn chi tiết - Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp

- Điều kiện xác định của $\sqrt{A}$ là $A\ge 0$.

- Điều kiện xác định của $\frac{1}{\sqrt{A}}$ là A > 0.

- Để giải phương trình chứa dấu căn ta cần phải tìm điều kiện xác định và khử dấu căn bằng cách bình phương hai vế hoặc đặt ẩn phụ.

II. Các công thức:

$$\begin{gathered} \sqrt{A}=\sqrt{B}\iff \left\{\begin{array}{l}A\ge 0(B\ge 0)\\ A=B\end{array}\right. \\ \sqrt{A}=B\iff \left\{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=B^2\end{array}\right. \\ \sqrt{A}+\sqrt{B}=\sqrt{C} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ B\ge 0\\ A+B+2\sqrt{AB}=C\end{array}\right. \\ \sqrt{A}+\sqrt{B}=0\iff \left\{\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Giải phương trình $\sqrt{x^2-4x+6}=x+4$.

Lời giải:

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2-4x+6}=x+4 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+4\ge 0\\ x^2-4x+6={(x +4)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -4\\ x^2-4x+6=x^2+8x+4^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -4\\ 12x=-10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -4\\ x=\frac{-5}{6}\end{array}\right. \\ \iff x=\frac{-5}{6} \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{-5}{6}\right\}$.

Bài 2: Giải phương trình $\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{2-x}$.

Lời giải:

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{2-x} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ x^2-2x+4=2-x\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x^2-x+2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Xét phương trình $x^2-x+2=0$ có: $\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.2}=-7<0$

$\Rightarrow$ Phương trình $x^2-x+2=0$ vô nghiệm

Vậy phương trình $\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{2-x}$ vô nghiệm.

Bài 3: Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{x-3}$.

Lời giải:

$$\begin{gathered} \sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{x-3} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x-2\ge 0\\ x+1+x-2\\ +2\sqrt{(x-1)(x-2)}=x-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\ge 2\\ 2\sqrt{x^2-2x-x+2}=-x-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ \sqrt{x^2-3x+2}=-\frac{1}{2}x-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ -\frac{1}{2}x-1\ge 0\\ x^2-3x+2={\left(-\frac{1}{2}x-1\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x\le -2\\ x^2-3x+2={\left(-\frac{1}{2}x-1\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff x\in \varnothing \end{gathered}$$

Vậy phương trình vô nghiệm.

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Giải phương trình $\sqrt{3x^2-9x+1}=x-2$.

Bài 2: Giải phương trình $\sqrt{5x-1}+\sqrt{3x-2}-\sqrt{x-1}=0$.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất

Công thức giải phương trình bậc hai đầy đủ, chi tiết nhất

Tất tần tật về Hệ thức Vi-et | Công thức Hệ thức Vi-et

Công thức giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết

Công thức giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn chi tiết