Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Với các bài toán về Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập Toán lớp 10 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập lớp 10. Mời các bạn đón xem:

1 1,587 12/03/2024
Tải về


Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10

1. Lý thuyết

a. Định nghĩa:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM=α, khi đó:

+) Tung độ của M gọi là sin của α, kí hiệu là sinα: sinα=OQ¯

+) Hoành độ của M gọi là cosin của α, kí hiệu là cosα: cosα=OP¯

+) Nếu cosα0, tỉ số sinαcosα gọi là tang của α, kí hiệu là tanα: tanα=sinαcosα

+) Nếu sinα0, tỉ số cosαsinα gọi là côtang của α, kí hiệu là cotα: cotα=cosαsinα

Các giá trị sinα,cosα,tanα,cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.

b. Hệ quả:

+) sinα,cosα xác định với mọi giá trị của α1sinα1,  1cosα1.

+) tanα được xác định khi απ2+kπ, xác định khi αkπ

+) sinα=sinα+k2π,  cosα=cosα+k2π

tanα=tanα+kπ,  cotα=cotα+kπ

+) Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.

Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

c. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

d. Các công thức lượng giác cơ bản:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

e. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

2. Các dạng bài

Dạng 2.1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

a. Phương pháp giải:

Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cosα=45 với 0<α<π2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .

Hướng dẫn:

Ta có:

sin2α=1cos2α=1452=925sinα=±35

Do 0<α<π2 nên sinα>0. Suy ra, sinα=35.

Từ đó, suy ra: tanα=sinαcosα=35:45=34;

cotα=cosαsinα=45:35=43.

Ví dụ 2: Cho tanα=45 với 3π2<α<2π. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α.

Hướng dẫn:

Ta có:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Dạng 2.2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a.

cosπ2α+sinπ2αcosπ2+αsinπ2+α=2sinα
b.

sinπ+x+cosπ2x+cot2πx+tan3π2x=2sinx

Hướng dẫn:

a. Ta có:

VT=cosπ2α+sinπ2αcosπ2+αsinπ2+α=sinα+cosα+sinαcosα=2sinα=VP

Suy ra đpcm.

b. Ta có:

VT=sinπ+xcosπ2x+cot2πx+tan3π2x=sinxsinx+cot(π+πx)+tanπ+π2x=sinxsinx+cot(πx)+tanπ2x=2sinxcotx+cotx=2sinx=VP

Suy ra đpcm.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: cosα+sinαcos3α=tan3α+tan2α+tanα+1 với απ2+kπ,k.

Hướng dẫn:

Ta có:

VT=cosα+sinαcos3α=1cos2α.cosα+sinαcosα=(1+tan2α).(1+tanα)=tan3α+tan2α+tanα+1=VP

Suy ra đpcm.

Dạng 2.3: Rút gọn biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức:
a. A=1cos2(π2+α)1sin2(π2α) cot(π2 α).tanαπ2

b. B=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x

Hướng dẫn:

a. Ta có:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

b. Ta có:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A=cos288°.cot72°tan162°.sin108°tan18°.

Hướng dẫn:

Ta có:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1: Cho cotα=32 với  π2<α<π. Tính giá trị sinα+cosα.

Hướng dẫn:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Câu 2: Cho sinx+cosx=120<x<π2. Tính giá trị của sinx.

Hướng dẫn:

Từ sinx+cosx=12

cosx=12sinx  (1)

Mặt khác: sin2x+cos2x=1  (2). Thế (1) vào (2), ta được:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Câu 3: Cho sinx=12cosx nhận giá trị âm, tính giá trị của biểu thức A=sinxcosxsinx+cox.

Hướng dẫn:

cosx nhận giá trị âm.

Ta có:

cosx=1sin2x=114=32

Suy ra:

A=12+321232=1+313=23

Câu 4: Rút gọn biểu thức A = tan2asin2acot2acos2a.

Hướng dẫn:

Ta có: A=tan2asin2acot2acos2a

A=sin2a1cos2a1cos2a1sin2a1=tan2a.tan2acot2a=tan4a1tana2=tan6a

Câu 5: Rút gọn biểu thức B=cos2xsin2ysin2x.sin2ycot2x.cot2y.

Hướng dẫn:

Ta có:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Câu 6: Rút gọn biểu thức:

A=cosα+26π2sinα7πcos1,5πcosα+2003π2+cosα1,5π.cotα8π

Hướng dẫn:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Câu 7: Chứng minh rằng 1+sina1sina1sina1+sina2=4tan2a với sinα±1, cosα0.

Hướng dẫn:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Suy ra đpcm.

Câu 8: Chứng minh đẳng thức sau: sinαcosα+sinαcosαcosαsinα=1+cot2α1cot2α.

Hướng dẫn:

Ta có:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Câu 9: Cho cung lượng giác có số đo x thỏa mãn tanx=2. Giá trị của biểu thức M=sinx3cos3x5sin3x2cosx.

Hướng dẫn:

Do tanx=2cosx0. Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho cos3x, ta được:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Câu 10: Rút gọn biểu thức A=2cos2x1sinx+cosx.

Hướng dẫn:

Ta có

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

b. Trắc nghiệm

Câu 1: Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau:

A. sinπ2x=cosx.

B. sinπ2+x=cosx.

C. tanπ2x=cotx.

D. tanπ2+x=cotx.

Câu 2: Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau:

A. tan3π2x=cotx.

B. sin3πx=sinx.

C. cos3πx=cosx.

D. cosx=cosx.

Câu 3: Cho cos150=2+32. Giá trị của tan15ο bằng:

A. 32.

B. 232.

C. 23.

D. 2+34.

Câu 4: Biểu thức B=cot440+tan2260.cos4060cos3160cot720.cot180 có kết quả rút gọn bằng:

A. -1.

B. 1.

C. 12.

D. 12.

Câu 5: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. sin2α+cos2α=1.

B. 1+tan2α=1cos2ααπ2+kπ,k.

C. 1+cot2α=1sin2ααkπ,k.

D. tanα+cotα=1αkπ2,k.

Đáp án:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập – Toán lớp 10 (ảnh 1)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập

Công thức lượng giác chi tiết và cách giải bài tập

Các định nghĩa về vectơ và cách giải bài tập

Tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải bài tập

Tích của vectơ với một số và cách giải bài tập

1 1,587 12/03/2024
Tải về