Tích của vectơ với một số và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Tích của vectơ với một số và cách giải bài tập – Toán lớp 10

A. Lí thuyết.

- Tích của vectơ với một số: Cho số k$\ne$0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Tích của vectơ $\overrightarrow{a}$ với số k là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược lại, ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|$.

- Tính chất: Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có:

- Quy tắc trung điểm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

- Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$) ,$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

- Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có tồn tại một số k khác 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

- Chú ý: Đối với vectơ – không : $0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$; $k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

B. Các dạng bài.

Dạng 1: Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tích của vectơ với một số, các quy tắc về tổng, hiệu của các vectơ và các hệ thức lượng, định lý Py-ta-go để tính độ dài vectơ đó.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Biết M là trung điểm BC. Tính độ dài vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}$.

Giải:

Ta có: $CM=\frac{1}{2}CB$ (do M là trung điểm BC) và B, C, M thẳng hàng.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CM} \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA} \\ \Rightarrow \left|\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA=a \end{gathered}$$

(ABC là tam giác đều cạnh a)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a tâm O. Tính độ dài vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Giải:

+) Vì B, O, D thẳng hàng và $OD=\frac{1}{2}BD$ (do O là tâm hình vuông ABCD)

$\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$

+) Vì A, O, C thẳng thàng và $OC=\frac{1}{2}AC$ (do O là tâm hình vuông ABCD)

$\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

+) Ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}$

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}$.

+) Xét hình bình hành OCMD có:

$\widehat{COD}={90}^o$

OC = OD

$\Rightarrow$OCMD là hình vuông.

+) Xét tam giác DAB vuông tại A

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

+) Xét tam giác ODM vuông tại D

DM = OC = $a\sqrt{2}$( do OCMD là hình vuông)

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Dạng 2: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước.

Phương pháp giải:

Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}$ trong đó A là một điểm cố định, $\overrightarrow{u}$ cố định và dựng điểm M là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}$.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm C sao cho $3\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$.

Giải:

Vậy ta dựng được điểm C thỏa mãn C, A, B thẳng hàng và $CA=\frac{2}{5}AB$.

Bài 2: Cho tam giác ABC. Tìm điểm K sao cho: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$

Giải:

+) Ta có: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=-2\overrightarrow{KC}$

$\iff \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{CK}$ (1)

+) Gọi I là trung điểm của AB. $\Rightarrow \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{KI}$ (2)

+) Từ (1) và (2) $\Rightarrow 2\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KI}$ $\iff \overrightarrow{CK}=\overrightarrow{KI}$

Vậy ta dựng được điểm K là trung điểm của CI.

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Đáp án: $\left|\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Biết K là trung điểm của OD. Tính độ dài vectơ $\frac{1}{4}\overrightarrow{DB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Đáp án: $\left|\frac{1}{4}\overrightarrow{DB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right|=\frac{a\sqrt{10}}{4}$

Bài 3: Cho tam giác vuông ABC có đường cao AH. Biết AB = AC = a. Tính độ dài vectơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$.

Đáp án: $\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O. Cho M là điểm có vị trí tùy ý. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$.

Đáp án: $\left|\overrightarrow{u}\right|=a\sqrt{5}$

Bài 5: Cho tam giác ABC, có điểm E trên AB sao cho $EB=\frac{1}{6}AB$ và điểm F là trung điểm của BC. Biết $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Dựng điểm J.

Đáp án:

Bài 6: Cho tam giác ABC. Dựng điểm O sao cho $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$.

Đáp án: O là trọng tâm tam giác ABC.

Bài 7: Cho tứ giác ABCD. Biết M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Dựng điểm I sao cho $\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{0}$.

Đáp án:

Bài 8: Cho tam giác ABC. Tìm điểm J sao cho $\overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Biết I là trung điểm của AB.

Đáp án:

Bài 9: Cho 4 điểm A, B, C, M. Tìm điểm C sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

Đáp án: C là trung điểm của AB.

Bài 10: Cho 3 điểm M, P, Q. Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{MQ}=3\overrightarrow{QN}-3\overrightarrow{QM}$.

Đáp án:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Các định nghĩa về vectơ và cách giải bài tập

Tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải bài tập

Cách Phân tích vectơ và phương pháp giải bài tập

Tọa độ của vectơ, tọa độ của một điểm và cách giải bài tập

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập