Công thức tinh góc giữa hai đường thẳng, các dạng bài tập và cách giải

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp

- Góc giữa hai đường thẳng là góc $\alpha$được tạo bởi hai đường thẳng d và d’ có số đo $0^o\le \alpha \le {90}^o$. Khi d song song hoặc trùng với d’, ta quy ước góc giữa chúng bằng $0^o$.

- Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của chúng.

II. Các công thức

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{u}=(a;b)$ và $\overrightarrow{u\text{'}}=(a\text{'};b\text{'})$. Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})\right|=\frac{\left|a.a\text{'}+b.b\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}}$

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n}=(a;b)$ và $\overrightarrow{n\text{'}}=(a\text{'};b\text{'})$. Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}})\right|=\frac{\left|a.a\text{'}+b.b\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}}$

- Gọi k và k’ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d và d’. Ta có:

$\tan (d,d\text{'})=\left|\frac{k-k\text{'}}{1+k.k\text{'}}\right|$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng d: 3x + y - 2 = 0 và d’: 2x - y + 3 = 0.

Lời giải:

Hai đường thẳng d và d’ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n}=(3;1)$ và $\overrightarrow{n\text{'}}=(2;-1)$. Ta có:

$$\begin{gathered} \cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}})\right| \\ =\frac{\left|3.2+1.(-1)\right|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{2^2+{(-1)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow (d,d\text{'})={45}^o \end{gathered}$$

Bài 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1+3t\end{array}\right.$và d’: $\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=2+t\end{array}\right.$.

Lời giải:

Hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{u}=(2;3)$ và $\overrightarrow{u\text{'}}=(1;1)$. Ta có:

$$\begin{gathered} \cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})\right| \\ =\frac{\left|2.1+3.1\right|}{\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5\sqrt{26}}{26} \\ \Rightarrow (d,d\text{'})\approx {11}^{o}18\text{'} \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hai đường thẳng d và d’ có hệ số góc lần lượt là 3 và -1. Tính góc giữa d và d’.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} \tan (d,d\text{'})=\left|\frac{3-(-1)}{1+3.(-1)}\right|=2 \\ \Rightarrow (d,d\text{'})\approx {63}^{o}26\text{'} \end{gathered}$$

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng d: 5x + 2y - 1 = 0 và d’: 2x - y + 7 = 0.

Bài 2: Cho hai đường thẳng d và d’ có hệ số góc lần lượt là -2 và -1. Tính góc giữa d và d’.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn hay, chi tiết nhất

Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng hay và chi tiết

Công thức viết phương trình đường phân giác hay chi tiết nhất

Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay và chi tiết nhất

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng