Bài tập về Hệ thức Vi-et và công thức Hệ thức Vi-et (2024) hay nhất

Bài tập về Hệ thức Vi-et và công thức Hệ thức Vi-et hay nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Định lí Vi- ét:

+ Phương trình bậc hai có dạng ${\text{ax}}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) có hai nghiệm $x_1$,$x_2$ , khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

+ Cho hai số u và v có tổng u + v = S và có tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình: $x^2-Sx+P=0$

II. Các công thức

- Định lí Vi-ét:

+) ${\text{ax}}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) có $\Delta \ge 0$ ($\Delta \text{'}\ge 0$)$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

+) $\left\{\begin{array}{l}u+v=S\\ u.v=P\end{array}\right.$

$\Rightarrow x^2-Sx+P=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=u\\ x=v\end{array}\right.$

- Dấu của nghiệm phương trình bậc hai:

+) Hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.$

+) Hai nghiệm phân biệt dương $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.$

+) Hai nghiệm phân biệt âm $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x_1+x_2<0\\ x_1.x_2>0\end{array}\right.$

+) Hai nghiệm phân biệt trái dấu $\iff a.c<0$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình $x^2+2mx+2m-1=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn: ${x_1}^2+{x_2}^2=6$.

Lời giải:

Xét phương trình:$x^2+2mx+2m-1=0$

$$\begin{gathered} \Delta \text{'}=m^2-1.(2m-1). \\ =m^2-2m+1 \\ ={(m-1)}^2\ge 0\forall m\in ℝ \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_{2 }$$\iff m\ne 1$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-2m}{1}=-2m\\ x_1.x_2=\frac{2m-1}{1}=2m-1\end{array}\right.$

Ta có:

$$\begin{gathered} {x_1}^2+{x_2}^2=6 \\ \iff {x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2-2x_1{x}_2=6 \\ \iff {(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=6 \\ \iff {(-2m)}^2-2.(2m-1)=6 \\ \iff 4m^2-4m+2=6 \\ \iff 4m^2-4m-4=0 \\ \iff m^2-m-1=0 \end{gathered}$$

Xét phương trình $m^2-m-1=0$ có $\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.1.}(-1)=5$ > 0

$\Rightarrow$ Phương trình $m^2-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt

$m_1=\frac{-(-1)+\sqrt{5}}{2.1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (t/m)

$m_2=\frac{-(-1)-\sqrt{5}}{2.1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (t/m)

Vậy với $m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ thì phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa mãn: ${x_1}^2+{x_2}^2=6$.

Bài 2: Cho phương trình $x^2+4x+2=0$. Tìm giá trị biểu thức $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ mà không cần phải tìm nghiệm của phương trình với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

Xét phương trình $x^2+4x+2=0$

$\Delta \text{'}=2^2-1.2=2>0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-4}{1}=-4\\ x_1.x_2=\frac{2}{1}=2\end{array}\right.$

Ta có:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1.x_2}=\frac{-4}{2}=-2$

Vậy $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-2.$

Bài 3: Tìm m thỏa mãn các điều kiện sau:

a) $x^2+4x-2m=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

c) $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt dương.

d) $2x^2+3mx-2=0$ có hai nghiệm phân biệt âm.

Lời giải:

a)

Xét phương trình $x^2+4x-2m=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì $1.(-2m)<0\iff m>0$

Vậy m > 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b)

Xét phương trình $x^2+mx-m-1=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$$\begin{gathered} \Delta =m^2-\mathrm{4.1.}(-m-1) \\ =m^2+4m+4={(m+2)}^2>0 \\ \iff m\ne -2 \left(1\right) \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$x_1.x_2=\frac{-m-1}{1}=-m-1$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:

$\Rightarrow -m-1>0\iff m<-1$ (2)

Kết hợp hai điều kiện (1), (2) ta có m < -1 và $m\ne -2$ thì phương trình $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

c)

Xét phương trình $x^2+mx-m-1=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$$\begin{gathered} \Delta =m^2-\mathrm{4.1.}(-m-1) \\ =m^2+4m+4={(m+2)}^2>0 \\ \iff m\ne -2 \left(1\right) \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-m}{1}=-m\\ x_1.x_2=\frac{-m-1}{1}=-m-1\end{array}\right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương:

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-m>0\\ -m-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<0\\ m<-1\end{array}\right. \\ \iff m<-1 \left(2\right) \end{gathered}$$

Kết hợp hai điều kiện (1), (2) ta có m < -1 và $m\ne -2$ thì phương trình $x^2+mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt dương.

d)

Xét phương trình $2x^2+3mx-2=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$$\begin{gathered} \Delta ={\left(3m\right)}^2-\mathrm{4.2.}(-2) \\ =9m^2+16>0\forall m\in ℝ \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-3m}{2}\\ x_1.x_2=\frac{-2}{2}=-1\end{array}\right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm:

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-\frac{3m}{2}<0\\ -1>0\end{array}\right.$ (vô lý vì – 1 < 0)

Vậy phương trình không thể có hai nghiệm phân biệt âm.

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho phương trình $4x^2-4mx-2m=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 2: Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+3m=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1=2x_2$.

Bài 3: Cho phương trình

(1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b) Tính theo tham số m giá trị của biểu thức

Bài 4: Cho phương trình bậc hai (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m,

b) Tìm m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6

Bài 5: Cho phương trình (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn có giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Bài 7: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất

Công thức giải phương trình bậc hai đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết

Công thức giải phương trình chứa dấu căn chi tiết

Công thức giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn chi tiết