Phương trình đường tròn và cách giải các dạng bài tập (2024) mới nhất

Phương trình đường tròn và cách giải bài tập – Toán lớp 10

A. Lí thuyết tổng hợp.

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R. Ta có phương trình đường tròn: ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$

- Nhận xét:

+ Phương trình đường tròn ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ có thể được viết dưới dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ trong đó $c=a^2+b^2-R^2$

+ Ngược lại, phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$. Khi đó đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Cho điểm M$(x_0;y_0)$ nằm trên đường tròn (C) tâm I (a; b) và bán kính R. Gọi đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến với (C) tại M. Phương trình của đường tiếp tuyến $\Delta$ là: $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$

B. Các dạng bài.

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn.

Phương pháp giải:

Cách 1: Dựa trực tiếp vào phương trình đề bài cho:

Từ phương trình ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ ta có: tâm I (a; b), bán kính R

Từ phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ ta có: tâm I (a; b), bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

Cách 2: Biến đổi phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ về phương trình ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ để tìm tâm I (a; b) , bán kính R.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường tròn có phương trình . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có:

Vậy đường tròn có tâm I (3; -5) và bán kính R = 6.

Bài 2: Cho đường tròn có phương trình $4x^2+4y^2-4x+8y-59=0$. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có:

Vậy đường tròn có tâm I$\left(\frac{1}{2};-1\right)$ và bán kính R = 4.

Dạng 2: Cách viết các dạng phương trình đường tròn.

Phương pháp giải:

Cách 1:

- Tìm tọa độ tâm I (a; b) của đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của đường tròn (C)

- Viết phương trình đường tròn dưới dạng ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$

Cách 2:

- Giả sử phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$

- Từ đề bài, thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c

- Giải hệ tìm a, b, c rồi thay vào phương trình đường tròn.

Chú ý: Khi đường tròn (C) tâm I đi qua hai điểm A, B thì $I{A}^2=I{B}^2=R^2$

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình đường tròn (C) tâm I (1; -3) và đi qua điểm O (0; 0).

Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua điểm O (0; 0) nên ta có:

$IO=R=\sqrt{{(0-1)}^2+{(0+3)}^2}=\sqrt{10}$

Đường tròn (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R = $\sqrt{10}$, ta có phương trình đường tròn:

${(x-1)}^2+{(y+3)}^2=10$

Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) biết đường tròn đi qua ba điểm A (-1; 3), B (3; 5) và C (4; -2).

Lời giải:

Giả sử phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$

Đường tròn đi qua điểm A (1; 1) nên ta có phương trình:

${(-1)}^2+3^2-2a.(-1)-2b.3+c=0$

$\iff 2a-6b+c=-10$ (1)

Đường tròn đi qua điểm B (3; 5) nên ta có phương trình:

$3^2+5^2-2a.3-2b.5+c=0$

(2) $\iff -6a-10b+c=-34$

Đường tròn đi qua điểm C (4; -2) nên ta có phương trình:

$4^2+{(-2)}^2-2a.4-2b.(-2)+c=0$

$\iff -8a+4b+c=-20$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2a-6b+c=-10\\ -6a-10b+c=-34\\ -8a+4b+c=-20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{3}\\ b=\frac{4}{3}\\ c=\frac{-20}{3}\end{array}\right.$

Ta có phương trình đường tròn:

$$\begin{gathered} x^2+y^2-2.\frac{7}{3}x-2.\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=0 \\ \iff x^2+y^2-\frac{14}{3}x-\frac{8}{3}y-\frac{20}{3}=0 \end{gathered}$$

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường tròn, đường tròn và đường thẳng.

Phương pháp giải:

- Vị trí tương đối của hai đường tròn:

Cho hai đường tròn ($C_1$) có tâm $I_1$, bán kính $R_1$ và đường tròn ($C_2$) có tâm $I_2$, bán kính $R_2$.

+ Nếu $I_1{I}_2$> $R_1+R_2$ thì hai đường tròn không có điểm chung .

+ Nếu thì $I_1{I}_2$ = $R_1+R_2$ hai đường tròn tiếp xúc ngoài

+ Nếu $I_1{I}_2$= $\left|R_1-R_2\right|$ thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

+ Nếu $R_1-R_2$ < $I_1{I}_2$ < $R_1+R_2$ thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm (với ) $R_1>R_2$.

- Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng:

Cho đường tròn (C) tâm I ($x_0;y_0$) có phương trình ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình ax + by + c = 0

+ Tính khoảng cách d (I, $\Delta$) từ tâm I đến đường thẳng $\Delta$ theo công thức:

$d(I,\Delta )=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

+ Tính bán kính R của đường tròn (C).

+ So sánh d (I, $\Delta$) với R :

Nếu d (I, $\Delta$) = R thì đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn (C).

Nếu d (I, $\Delta$) > R thì đường thẳng $\Delta$ không giao với đường tròn (C).

Nếu d (I, $\Delta$) < R thì đường thẳng $\Delta$ giao với đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2=32$. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d’: 3x + 5y – 1 = 0 và đường tròn (C).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn $x^2+y^2=32$ có:

Tâm I (0; 0)

Bán kính R = $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

Xét phương trình đường thẳng: d’: 3x + 5y – 1 = 0

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d’ là :

d (I, d’) $=\frac{\left|3.0+5.0-1\right|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{\sqrt{34}}{34}$ < $R=4\sqrt{2}$

Vậy đường thẳng d’ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$ và đường tròn (C’) có phương trình ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=18$. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C) và (C’).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C) là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$, ta có:

Tâm $I_1(1;1)$, bán kính $R_1=\sqrt{25}=5$

Xét phương trình đường tròn (C’) là ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=18$, ta có:

Tâm $I_2(6;5)$, bán kính $R_2=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Ta có:

$$\begin{gathered} I_1{I}_2=\sqrt{{(6-1)}^2+{(5-1)}^2}=\sqrt{41} \\ {R}_1+R_2=5+3\sqrt{2} \\ {R}_1-R_2=5-3\sqrt{2} \\ \Rightarrow R_1-R_2<I_1{I}_2<R_1+R_2 \end{gathered}$$

Vậy hai đường tròn (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm.

Dạng 4: Tiếp tuyến với đường tròn.

Phương pháp giải:

- Tiếp tuyến tại một điểm M$(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn. Ta có:

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $x{x}_0+y{y}_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$.

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là: $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=R^2$

- Tiếp tuyến vẽ từ một điểm N$(x_0;y_0)$ cho trước nằm ngoài đường tròn.

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N:

$y-y_0=m(x-x_0)\iff mx-y-m{x}_0+y_0=0$ (1)

+ Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

- Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

+ Phương trình của đường thẳng d có dạng: y = kx + m (m chưa biết)

$\iff$kx – y + m = 0 (2)

+ Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m. Thay vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M (3; 4) biết đường tròn có phương trình là ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2=8$.

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C) có: Tâm I (1; 2) và bán kính $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M (3; 4) là:

(3 – 1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 0

$\iff$ 3x – 9 – x + 3 + 4y – 16 – 2y + 8 = 0

$\iff$ 2x + 2y – 14 = 0

$\iff$ x + y – 7 = 0

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^2+y^2-4x+8y+18=0$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A (1; 1).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn: $x^2+y^2-4x+8y+18=0$

Ta có tâm I (2; -4) và bán kính R = $\sqrt{2^2+{(-4)}^2-18}=\sqrt{2}$

Xét điểm A (1; 1) có:

$1^2+1^2-4.1+8.1+18\ne 0$

$\Rightarrow$ Điểm A không nằm trên đường tròn (C)

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1; 1) với hệ số góc k là

$∆$: y = k(x – 1) + 1$\iff$ kx – y – k + 1 = 0

Để đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng $\Delta$ phải bằng bán kính R.

Với $k=5-4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

$$\begin{gathered} y=(5-4\sqrt{3})x-5+4\sqrt{3}+1 \\ \iff y=(5-4\sqrt{3})x-4+4\sqrt{3} \end{gathered}$$

Với $k=5+4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

$$\begin{gathered} y=(5+4\sqrt{3})x-5-4\sqrt{3}+1 \\ \iff y=(5+4\sqrt{3})x-4-4\sqrt{3} \end{gathered}$$

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình:

$x^2+y^2-2x-2y-2=0$

Đáp án: Tâm I (1; 1) và R = 2

Bài 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: ${(x-2)}^2+{(y-3)}^2=18$

Đáp án: Tâm I (2; 3) và R = $3\sqrt{2}$

Bài 3: Cho phương trình: $x^2+y^2-4mx-2my+2m+3=0$. Tìm m để phương trình là phương trình đường tròn.

Đáp án: m > 1 hoặc $m<\frac{-3}{5}$

Bài 4: Viết phương trình đường tròn tâm I (1; 2) đi qua điểm B (5; 0).

Đáp án: ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2=20$

Bài 5: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A (1; 4), B (8; 3) và C (5; 0)

Đáp án: $x^2+y^2-9x-7y+20=0$

Bài 6: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^2+y^2-1=0$ . Xác định vị trí tương đối của đường tròn với đường thẳng d: x + y – 1 = 0.

Đáp án: d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 7: Cho hai đường tròn: (C) có phương trình là $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ và (C’) có phương trình $x^2+y^2+2x-2y-14=0$. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.

Đáp án: (C) cắt (C’) tại hai điểm phân biệt.

Bài 8: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A (2; 1) và tiếp xúc với hai trục Ox, Oy.

Đáp án: ${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=1$

Bài 9: Cho phương trình đường tròn (C): ${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=13$. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm B (3; 4).

Đáp án: d: 2x + 3y – 18 = 0

Bài 10: Cho phương trình đường tròn (C): ${(x-7)}^2+{(y-1)}^2=10$ . Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) đi qua điểm A (9; 5).

Đáp án: d: x – 3y + 6 = 0 và d’: 3x + y – 32 = 0