Phương trình đường tròn (lý thuyết và cách giải các dạng bài tập)

Phương trình đường tròn và cách giải bài tập – Toán lớp 10

I. Lý thuyết phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R. Ta có phương trình đường tròn: ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$

- Nhận xét:

+ Phương trình đường tròn ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ có thể được viết dưới dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ trong đó $c=a^2+b^2-R^2$

+ Ngược lại, phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$. Khi đó đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M$(x_0;y_0)$ nằm trên đường tròn (C) tâm I (a; b) và bán kính R. Gọi đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến với (C) tại M. Phương trình của đường tiếp tuyến $\Delta$ là: $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$

II. Các dạng bài tập phương trình đường tròn

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Phương pháp giải:

Cách 1: Dựa trực tiếp vào phương trình đề bài cho:

Từ phương trình ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ ta có: tâm I (a; b), bán kính R

Từ phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ ta có: tâm I (a; b), bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

Cách 2: Biến đổi phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ về phương trình ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ để tìm tâm I (a; b) , bán kính R.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường tròn có phương trình . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có:

Vậy đường tròn có tâm I (3; -5) và bán kính R = 6.

Bài 2: Cho đường tròn có phương trình $4x^2+4y^2-4x+8y-59=0$. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có:

Vậy đường tròn có tâm I$\left(\frac{1}{2};-1\right)$ và bán kính R = 4.

Dạng 2: Cách viết các dạng phương trình đường tròn

Phương pháp giải:

Cách 1:

- Tìm tọa độ tâm I (a; b) của đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của đường tròn (C)

- Viết phương trình đường tròn dưới dạng ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$

Cách 2:

- Giả sử phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$

- Từ đề bài, thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c

- Giải hệ tìm a, b, c rồi thay vào phương trình đường tròn.

Chú ý: Khi đường tròn (C) tâm I đi qua hai điểm A, B thì $I{A}^2=I{B}^2=R^2$

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình đường tròn (C) tâm I (1; -3) và đi qua điểm O (0; 0).

Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua điểm O (0; 0) nên ta có:

$IO=R=\sqrt{{(0-1)}^2+{(0+3)}^2}=\sqrt{10}$

Đường tròn (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R = $\sqrt{10}$, ta có phương trình đường tròn:

${(x-1)}^2+{(y+3)}^2=10$

Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) biết đường tròn đi qua ba điểm A (-1; 3), B (3; 5) và C (4; -2).

Lời giải:

Giả sử phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$

Đường tròn đi qua điểm A (1; 1) nên ta có phương trình:

${(-1)}^2+3^2-2a.(-1)-2b.3+c=0$

$\iff 2a-6b+c=-10$ (1)

Đường tròn đi qua điểm B (3; 5) nên ta có phương trình:

$3^2+5^2-2a.3-2b.5+c=0$

(2) $\iff -6a-10b+c=-34$

Đường tròn đi qua điểm C (4; -2) nên ta có phương trình:

$4^2+{(-2)}^2-2a.4-2b.(-2)+c=0$

$\iff -8a+4b+c=-20$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2a-6b+c=-10\\ -6a-10b+c=-34\\ -8a+4b+c=-20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{3}\\ b=\frac{4}{3}\\ c=\frac{-20}{3}\end{array}\right.$

Ta có phương trình đường tròn:

$$\begin{gathered} x^2+y^2-2.\frac{7}{3}x-2.\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=0 \\ \iff x^2+y^2-\frac{14}{3}x-\frac{8}{3}y-\frac{20}{3}=0 \end{gathered}$$

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường tròn, đường tròn và đường thẳng

Phương pháp giải:

- Vị trí tương đối của hai đường tròn:

Cho hai đường tròn ($C_1$) có tâm $I_1$, bán kính $R_1$ và đường tròn ($C_2$) có tâm $I_2$, bán kính $R_2$.

+ Nếu $I_1{I}_2$> $R_1+R_2$ thì hai đường tròn không có điểm chung .

+ Nếu thì $I_1{I}_2$ = $R_1+R_2$ hai đường tròn tiếp xúc ngoài

+ Nếu $I_1{I}_2$= $\left|R_1-R_2\right|$ thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

+ Nếu $R_1-R_2$ < $I_1{I}_2$ < $R_1+R_2$ thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm (với ) $R_1>R_2$.

- Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng:

Cho đường tròn (C) tâm I ($x_0;y_0$) có phương trình ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình ax + by + c = 0

+ Tính khoảng cách d (I, $\Delta$) từ tâm I đến đường thẳng $\Delta$ theo công thức:

$d(I,\Delta )=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

+ Tính bán kính R của đường tròn (C).

+ So sánh d (I, $\Delta$) với R :

Nếu d (I, $\Delta$) = R thì đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn (C).

Nếu d (I, $\Delta$) > R thì đường thẳng $\Delta$ không giao với đường tròn (C).

Nếu d (I, $\Delta$) < R thì đường thẳng $\Delta$ giao với đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2=32$. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d’: 3x + 5y – 1 = 0 và đường tròn (C).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn $x^2+y^2=32$ có:

Tâm I (0; 0)

Bán kính R = $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

Xét phương trình đường thẳng: d’: 3x + 5y – 1 = 0

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d’ là :

d (I, d’) $=\frac{\left|3.0+5.0-1\right|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{\sqrt{34}}{34}$ < $R=4\sqrt{2}$

Vậy đường thẳng d’ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$ và đường tròn (C’) có phương trình ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=18$. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C) và (C’).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C) là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25$, ta có:

Tâm $I_1(1;1)$, bán kính $R_1=\sqrt{25}=5$

Xét phương trình đường tròn (C’) là ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=18$, ta có:

Tâm $I_2(6;5)$, bán kính $R_2=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Ta có:

$$\begin{gathered} I_1{I}_2=\sqrt{{(6-1)}^2+{(5-1)}^2}=\sqrt{41} \\ {R}_1+R_2=5+3\sqrt{2} \\ {R}_1-R_2=5-3\sqrt{2} \\ \Rightarrow R_1-R_2<I_1{I}_2<R_1+R_2 \end{gathered}$$

Vậy hai đường tròn (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm.

Dạng 4: Tiếp tuyến với đường tròn

Phương pháp giải:

- Tiếp tuyến tại một điểm M$(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn. Ta có:

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $x{x}_0+y{y}_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$.

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là: $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=R^2$

- Tiếp tuyến vẽ từ một điểm N$(x_0;y_0)$ cho trước nằm ngoài đường tròn.

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N:

$y-y_0=m(x-x_0)\iff mx-y-m{x}_0+y_0=0$ (1)

+ Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

- Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

+ Phương trình của đường thẳng d có dạng: y = kx + m (m chưa biết)

$\iff$kx – y + m = 0 (2)

+ Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m. Thay vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M (3; 4) biết đường tròn có phương trình là ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2=8$.

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C) có: Tâm I (1; 2) và bán kính $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M (3; 4) là:

(3 – 1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 0

$\iff$ 3x – 9 – x + 3 + 4y – 16 – 2y + 8 = 0

$\iff$ 2x + 2y – 14 = 0

$\iff$ x + y – 7 = 0

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^2+y^2-4x+8y+18=0$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A (1; 1).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn: $x^2+y^2-4x+8y+18=0$

Ta có tâm I (2; -4) và bán kính R = $\sqrt{2^2+{(-4)}^2-18}=\sqrt{2}$

Xét điểm A (1; 1) có:

$1^2+1^2-4.1+8.1+18\ne 0$

$\Rightarrow$ Điểm A không nằm trên đường tròn (C)

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1; 1) với hệ số góc k là

$∆$: y = k(x – 1) + 1$\iff$ kx – y – k + 1 = 0

Để đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng $\Delta$ phải bằng bán kính R.

Với $k=5-4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

$$\begin{gathered} y=(5-4\sqrt{3})x-5+4\sqrt{3}+1 \\ \iff y=(5-4\sqrt{3})x-4+4\sqrt{3} \end{gathered}$$

Với $k=5+4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

$$\begin{gathered} y=(5+4\sqrt{3})x-5-4\sqrt{3}+1 \\ \iff y=(5+4\sqrt{3})x-4-4\sqrt{3} \end{gathered}$$

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình:

$x^2+y^2-2x-2y-2=0$

Đáp án: Tâm I (1; 1) và R = 2

Bài 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: ${(x-2)}^2+{(y-3)}^2=18$

Đáp án: Tâm I (2; 3) và R = $3\sqrt{2}$

Bài 3: Cho phương trình: $x^2+y^2-4mx-2my+2m+3=0$. Tìm m để phương trình là phương trình đường tròn.

Đáp án: m > 1 hoặc $m<\frac{-3}{5}$

Bài 4: Viết phương trình đường tròn tâm I (1; 2) đi qua điểm B (5; 0).

Đáp án: ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2=20$

Bài 5: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A (1; 4), B (8; 3) và C (5; 0)

Đáp án: $x^2+y^2-9x-7y+20=0$

Bài 6: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^2+y^2-1=0$ . Xác định vị trí tương đối của đường tròn với đường thẳng d: x + y – 1 = 0.

Đáp án: d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 7: Cho hai đường tròn: (C) có phương trình là $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ và (C’) có phương trình $x^2+y^2+2x-2y-14=0$. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.

Đáp án: (C) cắt (C’) tại hai điểm phân biệt.

Bài 8: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A (2; 1) và tiếp xúc với hai trục Ox, Oy.

Đáp án: ${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=1$

Bài 9: Cho phương trình đường tròn (C): ${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=13$. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm B (3; 4).

Đáp án: d: 2x + 3y – 18 = 0

Bài 10: Cho phương trình đường tròn (C): ${(x-7)}^2+{(y-1)}^2=10$ . Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) đi qua điểm A (9; 5).

Đáp án: d: x – 3y + 6 = 0 và d’: 3x + y – 32 = 0