Các công thức tính diện tích tam giác (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

Các công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Các công thức

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_a,h_b,h_c$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

• $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;

• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

+ Phương pháp giải: Dựa vào dữ kiện bài ra để sử dụng linh hoạt một trong các công thức ở trên.

II. Ví dụ minh họa

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 6,$\widehat{BAC}=60°$. Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin BAC$

$=\frac{1}{2}\mathrm{.3.6.}\sin 60°=\frac{9\sqrt{3}}{2}$(đvdt).

Bài 2. Tam giác ABC có AC = 4,$\widehat{BAC}=30°,\widehat{ACB}=75°$. Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Theo định lý tổng 3 góc trong tam giác ABC, ta có:

Bài 3. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10. Diện tích của tam giác ABC bằng:

Lời giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{21+17+10}{2}=24$ (đvđd)

Theo công thức Hê – rông, ta có diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

$=\sqrt{24\left(24-21\right)\left(24-17\right)\left(24-10\right)}=84$ (đvdt).

Bài 4. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4 cm có diện tích bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là tam giác ABC đều có cạnh a (cm, a > 0).

Theo đề bài ta có, đường tròn có bán kính R = 4 cm là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó tâm O của đường tròn chính là giao của ba đường trung trực của tam giác.

Mà tam giác ABC đều nên O đồng thời là trực tâm của tam giác.

Gọi E là trung điểm của BC

Khi đó ta có: $AE=\frac{3}{2}AO$ (tính chất trọng tâm)

Mà AO = R = 4 cm

Do đó: AE = 6 cm

Tam giác ABC đều nên trung tuyến AE cũng là đường cao.

Theo định lý Py – ta – go trong tam giác vuông ABE ta có:

$A{B}^2=A{E}^2+B{E}^2$

Suy ra: $a^2=6^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2\Rightarrow a=4\sqrt{3}\left(cm\right)$

Vậy diện tích tam giác đều ABC là:

$S=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^3}{4.4}=12\sqrt{3}$(cm²).