Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay và chi tiết nhất - Toán lớp 10

Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay và chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Hai đường thẳng d và d’ có các vị trí tương đối như sau:

+ d song song với d’, tức là d và d’ không có điểm chung

+ d cắt d’tại duy nhất một điểm, tức là d và d’ có duy nhất một điểm chung

+ d trùng với d’, tức là d và d’ có vô số điểm chung

II. Các công thức.

- Cách 1: Cho hai đường thẳng d: $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và d’: $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ 

($a_1,b_1,c_1\ne 0$). Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xác định như sau:

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{c_2}{c_1}\iff d\equiv d\text{'}$

$\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}\ne \frac{c_2}{c_1}\iff d//d\text{'}$

$\frac{a_2}{a_1}\ne \frac{b_2}{b_1}\iff d\cap d\text{'}$

- Cách 2: Cho hai đường thẳng d: $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và d’: $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xác định qua hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}\right.$ (1)

+ Nếu hệ phương trình (1) có vô số nghiệm thì $d\equiv d\text{'}$

+ Nếu hệ phương trình (1) vô nghiệm thì d // d’

+ Nếu hệ phương trình (1) có duy nhất một nghiệm thì d cắt d’ tại điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình.

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường thẳng d’: 3x – y + 5 = 0.

Lời giải:

Xét hai đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và d’: 3x – y + 5 = 0 có:

$\frac{3}{3}=\frac{-1}{-1}\ne \frac{5}{2}$

$\Rightarrow$ d song song với d’.

Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x + 5y + 4 = 0 và đường thẳng d’: 6x + 10y + 8 = 0

Lời giải:

Xét hai đường thẳng d: 3x + 5y + 4 = 0 và đường thẳng d’: 6x + 10y + 8 = 0

Ta có: $\frac{6}{3}=\frac{10}{5}=\frac{8}{4}=2$

$\Rightarrow$ d trùng với d’.

Bài 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 và d’: 2x – 3y + 2 = 0. Nếu chúng cắt nhau, hãy tìm tọa độ giao điểm.

Lời giải:

Xét hệ phương trình: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x-3y+2=0\\ x-2y+1=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y=-2\\ x-2y=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (-1; 0) nên d cắt d’ tại điểm duy nhất có tọa độ là (-1; 0).

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường thẳng d’: 6x – 2y + 7 = 0.

Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 4x – 5y + 1 = 0 và đường thẳng d’: 2x – 2y + 1 = 0. Nếu chúng cắt nhau, hãy tìm tọa độ giao điểm.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn hay, chi tiết nhất 

Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng hay và chi tiết 

Công thức viết phương trình đường phân giác hay chi tiết nhất 

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng