Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả (2024) chi tiết nhất
Với Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất - Toán lớp 10 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất - Toán lớp 10
I. Lí thuyết tổng hợp.
- Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
- Các hệ quả:
+ Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
,
+ Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích (xy) lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
+ Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng (x + y) nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
II. Các công thức.
, nếu không đổi thì .
, nếu không đổi thì .
III. Ví dụ minh họa.
Bài 1: Cho a, b là số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Khi a, b là số dương , , ,
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Mặt khác ta có:
(2)
Từ (1) và (2) ta có: (điều cần phải chứng minh)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Bài 2: Cho a, b, c, d là số dương. Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Vì a, b, c, d là số dương nên ta có: , , ,
Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:
Lại có, do a, b, c, d dương nên:
(điều cần phải chứng minh).
Bài 3: Cho hai số dương c, d. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức trong các trường hợp sau:
a) c + d = 6 luôn không đổi, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (c + d).cd ;
b) c.d = 5 luôn không đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải:
a)
Ta có: A = (c + d).cd = 6cd vì (c + d) = 6 luôn không đổi.
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có:
Vậy giá trị lớn nhất của A là 54 khi c = d = 3.
b)
Ta có: vì c.d = 5 luôn không đổi.
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là khi c = d = .
IV. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: .
Bài 2: Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng .
Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:
Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất
Dấu của nhị thức bậc nhất chi tiết nhất
Công thức giải bất phương trình một ẩn chi tiết nhất
Công thức giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 10 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 10 (sách mới)
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 10 (sách mới)
- Văn mẫu lớp 10 (cả ba sách) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 | Giải bài tập Lịch sử 10 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Đề thi Lịch sử 10
- Bài tập Tiếng Anh 10 theo Unit (sách mới) có đáp án
- Giải sgk Tiếng Anh 10 (thí điểm)