Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng - Toán lớp 10

Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$. Phương trình đường tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.$ (tham số t) với $a^2+b^2\ne 0$.

- Cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d được viết dưới dạng:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

$\iff ax+by+c=0$ ($c=-a{x}_0-b{y}_0$)

II. Các công thức.

- Công thức chuyển đổi từ phương trình tổng quát thành phương trình tham số của đường thẳng:

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0

+ Dựa vào phương trình tổng quát, ta xác định một điểm $M_0(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng d

+ Dựa vào phương trình tổng quát, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$ nên ta có vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(-b;a)$ hoặc $\overrightarrow{u}=(b;-a)$

+ Viết phương trình tham số của d có dạng: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0-bt\\ y=y_0+at\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+bt\\ y=y_0-at\end{array}\right.$

- Công thức chuyển đổi từ phương trình tham số thành phương trình tổng quát của đường thẳng:

Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.$ 

+ Dựa vào phương trình tham số, ta xác định được điểm $M_0(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng d

+ Dựa vào phương trình tham số, đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$ nên ta có vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(-b;a)$ hoặc $\overrightarrow{n}=(b;-a)$

+ Viết phương trình tổng quát của d dưới dạng:

$-b(x-x_0)+a(y-y_0)=0$

Hoặc

$b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0

Ta có:

Điểm A(1; 2) thuộc đường thẳng d do 3.1 – 2.2 + 1 = 0

Vectơ pháp tuyến của d là  $\overrightarrow{n}=(3;-2)\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{u}=(2;3)$

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+3t\end{array}\right.$

Bài 2: Cho đường thẳng d: 4x + 4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 4x + 4 = 0

Ta có:

Điểm B(-1; 3) thuộc đường thẳng d do 4.(-1) + 4 = 0

(có thể lấy tung độ bất kì vì phương trình đường thẳng d không phụ thuộc tung độ y)

Vectơ pháp tuyến của d là  $\overrightarrow{n}=(4;0)\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{u}=(0;-4)$

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=3-4t\end{array}\right.$

Bài 3: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+4t\\ y=3-2t\end{array}\right.$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+4t\\ y=3-2t\end{array}\right.$.

Ta có:

Điểm C(-1; 3) thuộc vào đường thẳng d dựa vào phương trình tham số. (cho t = 0 thay vào phương trình tham số của d, ta tìm được tọa độ C)

Vectơ chỉ phương của d là  $\overrightarrow{u}=(4;-2)\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(2;4)$

Phương trình tổng quát của d là:

2(x + 1) + 4(y – 3)  = 0

$\iff$ 2x + 4y – 10 = 0

$\iff$x + 2y – 5 = 0

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Bài 2: Cho đường thẳng d: 4x – y = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng