Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: Lý thuyết, cách xác định, công thức và các dạng bài tập

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

I. Lý thuyết tổng hợp

Định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Từ một điểm trên đường tròn ta có duy nhất một tiếp tuyến đi qua điểm đó. Từ một điểm ngoài đường tròn, ta có hai tiếp tuyến với đường tròn đi qua điểm đó.

II. Các công thức về Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

- Cho đường tròn (C): ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn (C).

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $x{x}_0+y{y}_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$.

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là: $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=R^2$

- Cho đường tròn (C): ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm $N(x_0;y_0)$ nằm ngoài đường tròn (C).

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N:

$y-y_0=m(x-x_0)\iff mx-y-m{x}_0+y_0=0$ (1)

+ Có $d(I,d)=R$ ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường tròn (C): ${(x-1)}^2+y^2=18$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-2; 3).

Lời giải:

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-2; 3) là:

Bài 2: Cho đường tròn (C): ${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=5$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B(-1; 2).

Lời giải:

Phương trình tiếp tuyến của (C) là:

Bài 3: Cho đường tròn (C): ${(x-4)}^2+{(y+3)}^2=2$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm C(4; 0).

Lời giải:

Gọi tiếp tuyến của (C) cần tìm là đường thẳng d

Ta có điểm C không thuộc đường tròn (C)

Phương trình đường thẳng đi qua điểm C là:

$$\begin{gathered} y-0=m(x-4) \\ \iff mx-4m-y=0 \end{gathered}$$

Tâm của đường tròn (C) là I(4; -3) và bán kính $R=\sqrt{2}$

Với $m=-\frac{\sqrt{14}}{2}$, có phương trình tiếp tuyến là: $\frac{\sqrt{14}}{2}x-4.\frac{\sqrt{14}}{2}-y=0$

$\iff \frac{\sqrt{14}}{2}x-y-2\sqrt{14}=0$

Với $m=-\frac{\sqrt{14}}{2}$, có phương trình tiếp tuyến là: $-\frac{\sqrt{14}}{2}x-4.\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)-y=0$

$\iff -\frac{\sqrt{14}}{2}x-y+2\sqrt{14}=0$

IV. Bài tập vận dụng

Câu 1: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x² + y² - 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:

A. d: x + 3y - 2 = 0    B. d: x - 3y + 4 = 0

C. d: x - 3y - 4 = 0    D. d: x + 3y + 2 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I(  ;  ).

+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) tại điểm N nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IN.

+ Phương trình đường thẳng (d) : 

⇒(d): 1(x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay ( d): x + 3y + 2 = 0

Câu 2: Cho đường tròn( C): x² + y² - 2x + 8y - 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là :

A. 10    B. 2√10    C.     D. √10

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -4) bán kính R = √40 .

Độ dài IM =  = √50 > R

⇒ Điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó từ M sẽ kẻ được hai tiếp tuyến là MA và MB- trong đó A và B là hai tiếp điểm .

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

MA = MB =  = √10

Vậy độ dài tiếp tuyến là : √10.

Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x² + y² - 3x - y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:

A. x + 3y - 1 = 0    B. 2x - 3y + 1 = 0    

C. 2x - y + 4 = 0    D. x + 3y + 2 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn ( C) có tâm I(  ;  ).

Điểm M(1; -1) thuộc đường tròn ( C).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và nhận vec tơ IM→ = (-  ; -  ) = -  (1; 3) nên có phương trình:

1( x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay x + 3y + 2 = 0

Câu 4: Cho đường tròn (x - 3)² + (y - 1)² = 10. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là

A. x - 3y + 5 = 0    B. x + 3y - 4 = 0    

C. x - 3y + 16 = 0    D. x + 3y - 16 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn ( C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = √10.

Tiếp tuyến của ( C) tại A là đường thẳng qua A( 4; 4) và nhận vecto IA→( 1; 3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d.

Suy ra (d) : 1( x - 4) + 3( y - 4) = 0 hay x + 3y - 16 = 0

Câu 5: Cho đường tròn (x - 2)² + (y - 2)² = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là

A. x + y - 4 = 0 và x - y - 2 = 0 .    

B. x = 5 và y = -1.

C. 2x - y - 3 = 0 và 3x + 2y - 3 = 0.    

D. 3x - 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 3.

+ ∆ là tiếp tuyến cần tìm : đi qua A(5, -1) và nhận VTPT n→( A; B)

⇒ (∆ ) : A( x - 5) + B( y + 1) = 0 (*)

+ Do ∆ là tiếp tuyến của ( C) nên :

d( I ; ∆) = R ⇔  = 3

⇔ |-3A + 3B| = 3 ⇔ 9A² - 18AB + 9B² = 9A² + 9B²

⇔ 18AB = 0 ⇔ 

+ Với A =0 ; chọn B = 1 thay vào (*) ta được : y + 1 = 0

+ Với B = 0 ; chọn A = 1 thay vào ( *) ta được :x - 5 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y + 1 = 0 và x - 5 = 0

Câu 6: Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là

A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0.    

B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0.

C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0    

D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn ( C) có tâm I( -1;3) và bán kính R =  = √5

+ Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: x + 2y- 15= 0 nên tiếp tuyến ∆ có dạng : x + 2y + m= 0 ( m≠-15) .

+ ∆ là tiếp tuyến của ( C) khi và chỉ khi:

d(I ;∆) = R ⇔  = √5 ⇔ |m + 5| = 5

⇔ 

⇒ Có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0

Câu 7: Cho đường tròn (C): ${(x-2)}^2+{(y-3)}^2=16$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B(2; 7).

Câu 8: Cho đường tròn (C): ${(x-4)}^2+{(y+3)}^2=25$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm C(2; 3).

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình đường tròn 

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip 

Công thức viết phương trình chính tắc của Elip