Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

- Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:

+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.

+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

+ Kết luận: d(d; d’) = d(A; d’) .

II. Các công thức.

- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d’: ax + by + c’  (d // d’).

+ Lấy điểm A(x’; y’) thuộc d

+ Tính khoảng cách từ A đến d’, có: $d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'})=\frac{\left|ax\text{'}+by\text{'}+c\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1:  Cho hai đường thẳng song song là d: 3x + 2y + 1 = 0 và d’: 3x + 2y - 1 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải:

Có điểm A(-1; 1) thuộc đường thẳng d: 3x + 2y + 1 = 0

Ta có:

$$\begin{gathered} d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'}) \\ =\frac{\left|3.(-1)+2.1-1\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{2\sqrt{13}}{13} \end{gathered}$$

Bài 2: Cho hai đường thẳng song song là d: x + 5y – 1 = 0 và d’: x + 5y + 4 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải:

Có điểm A(-4; 1) thuộc đường thẳng d: x + 5y – 1 = 0

Ta có: 

$$\begin{gathered} d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'}) \\ =\frac{\left|-4+5.1+4\right|}{\sqrt{1^2+5^2}}=\frac{5\sqrt{26}}{26} \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hai đường thẳng song song là d: 3x + 4y + 2 = 0 và d’: 3x + 4y + 4 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải:

Có điểm A(2; -2) thuộc đường thẳng d: 3x + 4y + 2= 0

Ta có:

$$\begin{gathered} d(d;d\text{'})=d(A;d\text{'}) \\ =\frac{\left|3.2+4.(-2)+4\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{2}{5} \end{gathered}$$

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hai đường thẳng song song là d: 6x + 8y + 9 = 0 và d’: 6x + 8y + 7 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Bài 2: Cho hai đường thẳng song song là d: x + y + 2 = 0 và d’: x + y + 5 = 0. Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình đường tròn 

Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip 

Công thức viết phương trình chính tắc của Elip