Các tính chất của tích vô hướng (2024) chi tiết nhất

Các tính chất của tích vô hướng chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

- Với các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ và số thực k tùy ý ta có: Các tính chất của tích vô hướng:

II. Các công thức.

- Với các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$khác vectơ $\overrightarrow{0}$ và số thực k tùy ý ta có:

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho tam giác ABC và M là điểm bất kì khác A, B, C. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$

Lời giải:

null

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$ (điều cần phải chứng minh)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Tính giá trị biểu thức P biết rằng: $P=A{B}^2+B{C}^2+2\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông cân tại B (do ABCD là hình vuông) :

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=a^2+a^2=2a^2 \\ \Rightarrow AC=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2} \end{gathered}$$

Ta có ABCD là hình vuông nên ta có AB // DC và AB = DC $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow P=A{B}^2+B{C}^2+2\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{BC} \\ ={\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{BC}}^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} \\ ={(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})}^2={\overrightarrow{AC}}^2 \\ =A{C}^2={\left(a\sqrt{2}\right)}^2=2a^2 \\ \Rightarrow P=2a^2 \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a. Chứng minh rằng $(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA})=0$.

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên ta có:

AB // DC và AB = DC$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Xét đẳng thức: $(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA})=0$

$$\begin{gathered} VT=(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA}) \\ =(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})={\overrightarrow{AD}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2 \\ \Rightarrow VT=A{D}^2-A{B}^2 \\ =a^2-a^2=0=VP \end{gathered}$$

$(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA})=0$ (điều cần phải chứng minh).