Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng - Toán lớp 10

Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa hệ số góc của đường thẳng: Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox, T là điểm thuộc d nằm trên Ox, khi đó hệ số góc của đường thẳng d là $k=\tan \widehat{TAx}$.

- Định nghĩa vectơ chỉ phương: Vectơ $\overrightarrow{u}$ ($\overrightarrow{u}\ne 0$) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

- Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng:

+ Nếu đường thẳng d có hệ số góc k thì có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;k)$

+ Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$ với $a\ne 0$ thì có hệ số góc là $k=\frac{b}{a}$.

II. Các công thức.

Cho đường thẳng d có hệ số góc k và vectơ chỉ phương

+) Cho k $\Rightarrow \overrightarrow{u}=(1;k)$

+) Cho $\overrightarrow{u}=(a;b)$ ($a\ne 0$) $\Rightarrow k=\frac{b}{a}$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$. Tìm hệ số góc của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-1;2)$

$\Rightarrow$ Hệ số góc k của đường thẳng d là: $k=\frac{2}{-1}=-2$

Bài 2: Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 3 = 0. Tìm hệ số góc k của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 3x – 2y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3;-2)$ 

$\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(2;3)$

$\Rightarrow$ Hệ số góc k của đường thẳng d là: $k=\frac{3}{2}$

Bài 3: Cho đường thẳng d có hệ số góc là k = 2 và đi qua điểm A(1; 1). Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết d có hệ số góc là k = 2 $\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow{u}=(1;2)$

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1), ta có phương trình tham số của d là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\end{array}\right.$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=3+5t\end{array}\right.$. Tìm hệ số góc của đường thẳng d.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm B(0; 1) và có hệ số góc k = 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng