Công thức phân tích vectơ (2024) chi tiết nhất

Công thức Phân tích vectơ lớp 10 chi tiết nhất - Toán lớp 10

A. Lí thuyết tóm tắt.

- Định nghĩa tích của vectơ với một số: Cho số k$\ne$0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Tích của vectơ với số k là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|$.

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

- Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có tồn tại một số k khác 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

- Tính chất của tích vectơ với một số:

+) $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$

+) $(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$

+) $h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}$

+) $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$

+) $0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$; $k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ sao cho $\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$. (h, k là duy nhất).

B. Các công thức.

- Quy tắc trung điểm: I là trung điểm của AB

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ ( M tùy ý )

- Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương: $\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$ (h, k là duy nhất)

- Độ dài vectơ tích của vectơ với một số: $\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$

- Điều kiện 2 vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$($\overrightarrow{b}\ne 0$) cùng phương: $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ ( k$\ne$0)

- Điều kiện 3 điểm thẳng hàng: $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

- Tính chất của tích vectơ với một số:

$$\begin{gathered} k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b} \\ (h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a} \\ h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a} \\ 1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a} \\ 0.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}; k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

C. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AB}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AK}$ và $\overrightarrow{BM}$.

Giải:

Vì K là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{KB}$.

Vì M là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$.

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{KB} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})+2(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AB} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{KA} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{AK} \\ \Rightarrow -3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{AK} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{BM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AK} \end{gathered}$$

Bài 2: Xét đoạn thẳng AB có trung điểm M, điểm N nằm ngoài AB, khác M. Phân tích vectơ $\overrightarrow{NM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{NA}$ và $\overrightarrow{NB}$.

Giải:

Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=2\overrightarrow{NM} \\ \Rightarrow \overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{NA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NB} \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM = 2MI. Chứng minh A, M, C thẳng hàng.

Giải:

Ta có: BM = 2MI

$\Rightarrow \overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI}$

Áp dụng quy tắc ba điểm có: $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}$

Mà ABCD là hình bình hành nên: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}$

Mà I là trung điểm CD nên: $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$.

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{CI} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC} \end{gathered}$$

Vậy A, M, C thẳng hàng.

D. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa mãn các hệ thức $\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có M, N là trung điểm của các cạnh DC, DA. Phân tích vectơ $\overrightarrow{AB}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BN}$.

Bài 3: Cho tam giác A, B, C. Có N là điểm sao cho $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, G là trọng tâm tam giác ABC. Phân tích $\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AN}$.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Trọn bộ công thức cơ bản về Vectơ dầy đủ

Công thức về tổng và hiệu hai vectơ chi tiết nhất

Quy tắc trung điểm, trọng tâm, quy tắc hình bình hành vecto lớp 10 chi tiết nhất

Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất

Công thức góc giữa hai vectơ chi tiết nhất