Tất tần tật về Định lí Côsin và hệ quả (2024) chi tiết nhất

Tất tần tật về Định lí Côsin và hệ quả chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

- Định lí Côsin:

Cho tam giác ABC bất kì với AB = c, AC = b, BC = a.

+ Tính diện tích:

$S=\frac{1}{2}BC.h_a=\frac{1}{2}AC.h_b=\frac{1}{2}AB.h_c$. ($h_a,h_b,h_c$ là độ dài đường cao lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C)

$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A$

$S=\frac{abc}{4R}$ (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp)

S = pr (với r là bán kính đường tròn nội tiếp, $p=\frac{a+b+c}{2}$)

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (với $p=\frac{a+b+c}{2}$) (công thức Hê – rông)

II. Các công thức cần nhớ.

Cho tam giác ABC bất kì có diện tích S với AB = c, AC = b, BC = a. Ta có:

$S=\frac{abc}{4R}$ (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp)

S = pr (với r là bán kính đường tròn nội tiếp, $p=\frac{a+b+c}{2}$)

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (với $p=\frac{a+b+c}{2}$) (công thức Hê – rông)

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết $\widehat{A}={50}^o$ và AB = 4cm. Tính độ dài BC.

Lời giải:

Ta có: AB = c, AC = b, BC = a

Xét tam giác ABC cân tại A có: b = c = 4cm.

Áp dụng định lí Côsin ta có:

$$\begin{gathered} a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A \\ =4^2+4^2-\mathrm{2.4.4.}\cos {50}^o\approx 11,43 \end{gathered}$$

$\Rightarrow a\approx \sqrt{11,43}\approx 3,38$(cm)

$BC\approx 3,38$(cm)

Bài 2: Cho tam giác ABC biết AB = 5cm, BC = 7cm, AC = 8cm. Tính số đo góc $\widehat{B}$, $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$.

Lời giải:

Ta có:

AB = c = 5cm

AC = b = 8cm

BC = a = 7cm

Áp dụng hệ quả của định lí Côsin ta có:

Bài 3: Cho tam giác ABC biết AB = 4cm, AC = 9cm, BC = 7cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có:

AB = c = 4cm

AC = b = 9cm

BC = a = 7cm

Ta có nửa chu vi tam giác: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+9+4}{2}=10$ (cm)

Theo công thức Hê – rông, diện tích tam giác ABC là:

$$\begin{gathered} S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ =\sqrt{10(10-7)(10-9)(10-4)}=6\sqrt{5} \end{gathered}$$